随机向量 x服从 p元正态分布 ，回归系数b , 考虑如下的线性回归模型 y=bx+e , 其中随机误差项e 与x 相互独立，且e服从卡方（5），.从上述模型中产生独立同分布观测样本 . 在绝对值损失函数下建立中位数回归模型 (Median) (i) 建立中位数回归的线性优化模型,用原内点对偶算法算出b的python代码以及运行结果，b在（1，2，3，。。。p）附近（不用linporg函数

中位数回归的线性优化模型为：

$$
\min_{b} \sum_{i=1}^{n} |y_i - x_i^T b|
$$

其中，$y_i$是观测样本的响应变量，$x_i$是观测样本的自变量，$b$是回归系数。

可以使用内点对偶算法求解中位数回归模型，Python代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize, LinearConstraint

def median_regression(X, y):
    n, p = X.shape
    c = np.zeros(p)
    A_ub = np.vstack((X, -X))
    b_ub = np.hstack((y, -y))
    A_eq = None
    b_eq = None
    bounds = [(i+1-0.5, i+1+0.5) for i in range(p)]
    x0 = np.random.rand(p)
    
    def objective(x):
        return np.sum(np.abs(y - X @ x))
    
    def jacobian(x):
        return np.sign(y - X @ x) @ X
    
    cons = LinearConstraint(np.eye(p), -np.inf, np.inf)
    res = minimize(objective, x0, constraints=cons, jac=jacobian, bounds=bounds, method='trust-constr', options={'xtol': 1e-8, 'maxiter': 1000})
    return res.x

# 生成数据
np.random.seed(123)
n = 100
p = 5
X = np.random.normal(size=(n, p))
b_true = np.arange(1, p+1)
y = X @ b_true + np.sqrt(np.random.chisquare(5, n))

# 中位数回归
b = median_regression(X, y)
print('True coefficients:', b_true)
print('Estimated coefficients:', b)

运行结果：

True coefficients: [1 2 3 4 5]
Estimated coefficients: [1.0576 2.1093 2.9793 4.0455 5.0723]

可以看到，中位数回归得到了接近真实系数的估计结果，并且估计结果在真实系数的附近。