Gagliardo-Nirenberg不等式

Gagliardo-Nirenberg不等式是一个关于Sobolev空间的不等式，它在偏微分方程理论、调和分析、概率统计等领域都有广泛的应用。其一般形式如下：

设 $u$ 为 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 上的一个紧支扩函数，且具有 $k$ 阶连续可微性，即 $u\in C_{0}^\infty(\mathbb{R}^n)$ 且 $\partial^\alpha u\in C(\mathbb{R}^n)$ 对任意 $|\alpha|\leqslant k$ 成立。则对于任意 $1\leqslant p\leqslant q<\infty$，都有如下不等式成立：

$$
\|u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}\leqslant C\|\nabla^k u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}^\theta\|u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^{1-\theta}
$$

其中常数 $C$ 和 $\theta$ 是与 $p,q,k,n$ 相关的正常数，满足 $0<\theta<1$，且 $\frac{1}{q}=\frac{\theta}{p}+\frac{1-\theta}{2}$。

该不等式的意义在于，它给出了空间中一个函数在低阶导数和 $L^2$ 范数之间的关系，从而可以用来证明某些偏微分方程解的存在唯一性、正则性等性质。

相关问题

证明Gagliardo-Nirenberg不等式

证明Gagliardo-Nirenberg不等式需要用到柯西-施瓦茨不等式、Hölder不等式和Young不等式。

首先，我们将待证不等式改写成如下形式：

$$
\|u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}^q\leqslant C^q\|\nabla^k u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}^{q\theta}\|u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^{q(1-\theta)}
$$

接下来，对于任意 $1\leqslant p\leqslant q<\infty$，取 $r$ 使得

$$
\frac{1}{q}=\frac{\theta}{p}+\frac{1-\theta}{r}
$$

则根据Hölder不等式和Young不等式，我们有：

\begin{aligned}
\|u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}^q&=\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^q dx\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{\theta q}|u(x)|^{(1-\theta)q}dx\\
&\leqslant \left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{p\theta q}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{r(1-\theta)q}dx\right)^{\frac{1}{r}}\\
&=\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{p\theta q}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{2(1-\theta)q}dx\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\leqslant \left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{p\theta q}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla^k u(x)|^{pq\theta/k}dx\right)^{\frac{k}{pq\theta}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^2dx\right)^{\frac{1-\theta}{2}}\\
&=\left(\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla^k u(x)|^{p\theta}dx\right)^{\frac{q\theta}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^2dx\right)^{\frac{q(1-\theta)}{2}}\\
&\leqslant C^q\|\nabla^k u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}^{q\theta}\|u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^{q(1-\theta)}
\end{aligned}

其中常数 $C$ 和 $\theta$ 与原来的定义相同。因此，原命题得证。