12.若向量组A与向量组C等价,则( A B C R(A) ≤ R(A, C) R(A,C) = R(C,A) R(C) ≤ R (A. C) R(A) # R(C)
时间: 2023-10-09 09:15:07 浏览: 48
这是一个有关向量空间的问题,其中R(A)表示向量组A的秩,R(A,C)表示由向量组A和向量组C所生成的向量空间的秩。
如果向量组A与向量组C等价,那么它们所生成的向量空间是同构的,即存在一个线性变换将向量组A映射到向量组C,同时保持向量空间的结构不变。
因此,以下结论是成立的:
- R(A) = R(C),即向量组A和向量组C的秩相等。
- R(A) ≤ R(A,C),即向量组A的秩小于等于由向量组A和向量组C所生成的向量空间的秩。
- R(A,C) = R(C,A),即由向量组A和向量组C所生成的向量空间的秩与由向量组C和向量组A所生成的向量空间的秩相等。
- R(C) ≤ R(A,C),即向量组C的秩小于等于由向量组A和向量组C所生成的向量空间的秩。
- R(A)不等于R(C),即向量组A和向量组C的秩不相等。
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若同维向量组 $A$ 和 $B$ 满足 $R(A)=R(B)$,则 $A$ 和 $B$ 的列空间相同,即 $A$ 和 $B$ 的列向量张成相同的子空间。
但是,仅仅通过 $R(A)=R(B)$ 无法判断 $A$ 和 $B$ 是否等价,即是否存在可逆矩阵 $P$,使得 $B=PA$。
例如,考虑以下两个 $3\times3$ 的矩阵:
$$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
显然,$R(A)=R(B)$,即 $A$ 和 $B$ 的列空间相同。
但是,$A$ 和 $B$ 不等价,因为它们的秩不同。矩阵 $A$ 的秩为 $2$,而矩阵 $B$ 的秩为 $3$。
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如果向量组A能由向量组B线性表示,那么这意味着存在一些系数使得A中的每一个向量都可以用B中的向量线性组合得到。但这并不意味着A与B包含的向量完全一样。
例如,假设向量组A包含向量{1,2}和{3,4},向量组B包含向量{1,0}和{0,1}。那么可以通过线性组合得到{1,2} = 1 \* {1,0} + 2 \* {0,1}和{3,4} = 3 \* {1,0} + 4 \* {0,1},即向量组A可以由向量组B线性表示。但是,向量组A中的向量{1,2}和{3,4}明显不等于向量组B中的任何向量,因此这两个向量组不等价。