BZOJ2839:集合计数(容斥,组合数学)

这个问题是一个比较经典的容斥原理的应用题目。我们可以考虑使用容斥原理来求解这个问题。具体来说，我们可以考虑求出所有集合的个数，然后减去至少包含一个特定元素的集合的个数，再加上至少包含两个特定元素的集合的个数，以此类推，直到加上包含所有特定元素的集合的个数。

对于一个大小为n的集合，其子集的个数为2^n。因此，所有集合的个数为2^n。现在我们考虑如何计算至少包含一个特定元素的集合的个数。我们可以将这个特定元素看作是一个元素，然后考虑其余n-1个元素组成的集合的个数，即2^(n-1)。因此，至少包含一个特定元素的集合的个数为2^(n-1)。同理，至少包含两个特定元素的集合的个数为C(2,n)*2^(n-2)，其中C(2,n)表示从n个元素中选取2个元素的组合数。

将以上结果代入容斥原理的公式中，即可得到最终的计数公式：
sum((-1)^k*C(k,n)*2^(n-k),k=0,1,...,n)

其中，sum表示对k从0到n进行求和，C(k,n)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，2^(n-k)表示剩余元素组成集合的个数。