floyd算法求最短路径数学公式

Floyd算法是一种动态规划算法，用于寻找加权图中多源最短路径。该算法的核心思想是：对于每一对顶点 u 和 v，以 k 为中间顶点，检查是否存在一条从 u 到 v 的更短路径。如果存在，就更新它们之间的距离。

在Floyd算法中，用d[i][j]表示从顶点i到顶点j的最短路径长度。假设图中有n个顶点，则算法的基本思路如下：

1. 初始化d[i][j]为图中i到j的边权，若i和j不相邻，则d[i][j]为无穷大。

2. 对于每一个顶点k，检查d[i][j]是否大于d[i][k]+d[k][j]，如果大于则更新d[i][j]为d[i][k]+d[k][j]。

3. 循环执行第2步，直到所有的顶点对之间的最短路径长度都求得。

因此，Floyd算法的数学公式为：

d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j])

其中，0 <= i,j,k < n。

相关问题

floyd算法求最短路径matlab

### 回答1：
Floyd算法是一种用于求解任意两点之间的最短路径的算法，常用于解决路径计算问题。在matlab中，可以使用类似以下代码实现Floyd算法求最短路径:

function D = floyd(W)
% W是邻接矩阵
n = size(W,1);
D = W;
for k = 1:n
    for i = 1:n
        for j = 1:n
            if D(i,k) + D(k,j) < D(i,j)
                D(i,j) = D(i,k) + D(k,j);
            end
        end
    end
end
end

其中W是一个n*n的邻接矩阵，D是一个n*n的最短路径矩阵。

### 回答2：
Floyd算法是一种经过多次迭代实现最短路径的算法，适用于有向图或有向带权图。与Dijkstra算法不同的是，Floyd算法可以处理负权边，而且也没有负环的情况。Floyd算法的时间复杂度为O(N^3)，其中N为节点数。

在MATLAB中，我们可以使用二维矩阵来表示图，用一个非常大的数字来表示两个节点之间没有连接。例如下面的矩阵：

A = [0, 2, Inf, 4; Inf, 0, 3, Inf; Inf, Inf, 0, 1; 2, Inf, Inf, 0];

其中，矩阵中的Inf表示两个节点没有连接。假设我们要求从节点1到节点4的最短路径，则可以执行以下Floyd算法：

for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if A(i,k)+A(k,j)<A(i,j)
A(i,j)=A(i,k)+A(k,j);
end
end
end
end

其中n为节点数，A为邻接矩阵。执行完后，A矩阵的第1行第4列即为从节点1到节点4的最短路径长度。

除了求最短路径长度，Floyd算法还可以求出每两个节点之间的最短路径。我们可以再加一个额外的矩阵P来记录路径信息。例如，假设P矩阵初值为：

P = [0 1 Inf 2; Inf 0 2 Inf; Inf Inf 0 3; 4 Inf Inf 0];

则算法程序可以修改为：

for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if A(i,k)+A(k,j)<A(i,j)
A(i,j)=A(i,k)+A(k,j);
P(i,j)=P(i,k);
end
end
end
end

执行完后，P矩阵的第1行第4列即为从节点1到节点4的最短路径经过的节点。我们可以通过反向追溯这些节点来求出最短路径。例如，在上面的例子中，第1行第4列为2，则节点1到节点4的最短路径经过的节点为1,2,4。

总之，Floyd算法虽然时间复杂度较高，但是它具有处理一般图结构、可以处理负权边和无负环限制的性质，因此在实际应用中有着广泛的应用。

### 回答3：
Floyd算法是一种求解最短路径的经典算法之一，它可以用来解决有向图中所有节点之间的最短路径问题。在Matlab中，可以通过编写相关代码来实现Floyd算法求解最短路径。

Floyd算法的基本思想是利用动态规划的思想，采用邻接矩阵来存储图中的节点信息。通过将每个节点看作一个中间节点，依次计算出从一个节点到另一个节点的最短路径长度。具体实现步骤如下：

1. 初始化邻接矩阵

首先需要将邻接矩阵进行初始化，例如用inf表示两个节点之间没有直接相连的边。同时，需要将邻接矩阵的对角线元素设置为0，表示一个节点到自身的距离为0。

2. 进行迭代计算

利用动态规划的思想，迭代计算每对节点之间的最短路径。对于每个中间节点k，依次遍历每对节点i和j，若经过节点k能够获得更短的路径，则更新邻接矩阵中i和j的距离值。

3. 输出最短路径结果

完成迭代计算后，最终的邻接矩阵中存储了所有节点之间的最短路径。通过遍历邻接矩阵中的元素，即可输出节点之间的最短路径长度。

需要注意的是，在Floyd算法中需要进行三层循环的迭代计算，因此时间复杂度为O(n^3)，其中n为节点数量。对于较大规模的图，需要谨慎考虑计算效率和时间成本等因素。

总而言之，Floyd算法是一种经典的最短路径算法，适用于解决图论中的各种问题。在Matlab中，可以通过编写相应的代码实现Floyd算法，并获得节点之间的最短路径长度信息。

floyd算法求最短路径c++

以下是使用C++实现Floyd算法求解最短路径的示例代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f; // 表示无穷大
const int MAXN = 100;      // 最大顶点数

int G[MAXN][MAXN]; // 存储图的邻接矩阵
int dist[MAXN][MAXN]; // 存储最短路径的长度
int path[MAXN][MAXN]; // 存储最短路径上的顶点

void floyd(int n) {
    // 初始化dist和path数组
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            dist[i][j] = G[i][j];
            path[i][j] = -1;
        }
    }

    // Floyd算法核心代码
    for (int k = 0; k < n; ++k) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                    path[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
}

// 输出从i到j的最短路径
void print_path(int i, int j) {
    if (path[i][j] == -1) {
        cout << j << " ";
    } else {
        int k = path[i][j];
        print_path(i, k);
        print_path(k, j);
    }
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    // 初始化邻接矩阵
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (i == j) {
                G[i][j] = 0;
            } else {
                G[i][j] = INF;
            }
        }
    }

    // 读入边的信息
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        G[u][v] = w;
    }

    floyd(n);

    // 输出每对顶点之间的最短路径长度和路径
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            cout << "From " << i << " to " << j << ": " << dist[i][j] << ", path: ";
            print_path(i, j);
            cout << endl;
        }
    }

    return 0;
}

在上述代码中，`G[i][j]`表示顶点i到顶点j的边权值，如果i和j之间没有边，则`G[i][j]`应该设置为一个较大的数（本示例中设为INF）。

`dist[i][j]`表示从顶点i到顶点j的最短路径长度，`path[i][j]`表示从顶点i到顶点j的最短路径上的顶点。

在`floyd()`函数中，先用邻接矩阵初始化`dist`和`path`数组，然后按照Floyd算法的步骤进行计算。在计算过程中，如果发现从顶点i到顶点j经过顶点k的路径长度更短，则更新`dist[i][j]`和`path[i][j]`的值。

在输出最短路径时，可以使用递归函数`print_path()`来输出从i到j的路径。如果`path[i][j]`为-1，则表示从i到j直接有一条边，输出j即可；否则，先输出从i到k的路径，再输出从k到j的路径即可。

最后，遍历每对顶点之间的最短路径长度和路径，输出结果即可。