背包问题的备忘录解决方法

背包问题是一个经典的动态规划问题，它的求解方法有很多，其中备忘录法是一种常见且实用的解决方法。

备忘录法的基本思路是在递归求解背包问题的过程中，将已经求解过的子问题的结果记录下来，避免重复计算，从而提高算法的效率。

具体来说，可以使用一个二维数组 memo 来记录已经求解过的子问题的结果，其中 memo[i][j] 表示在前 i 个物品中选择不超过 j 容量的最大价值。在每次递归时，先检查 memo[i][j] 是否已经计算过，如果计算过则直接返回结果，否则再进行递归求解。

递归求解的结束条件是当前物品已经全部考虑完毕，或者当前背包容量已经为 0，此时返回价值为 0。否则，如果当前物品的重量超过背包容量，则直接考虑下一个物品；否则，考虑将当前物品放入背包或者不放入背包两种情况，取其中的最大值作为当前子问题的解，并将结果记录到 memo 数组中。

最终递归求解完成后，memo[n][c] 就是在 n 个物品中选择不超过 c 容量的最大价值，即为背包问题的解。

这种备忘录法的时间复杂度为 O(n*c)，空间复杂度也为 O(n*c)。虽然比一般的递归算法要快，但仍然存在一些优化空间，比如可以使用滚动数组将空间复杂度优化到 O(c) 级别。

相关问题

python备忘录解决背包问题

背包问题是一类经典的动态规划问题，可以用备忘录方法来解决。以下是一个Python实现的备忘录解决背包问题的代码：

def knapsack(values, weights, capacity):
    n = len(values)
    memo = [[None] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    def dp(i, j):
        if memo[i][j] is not None:
            return memo[i][j]
        if i == 0 or j == 0:
            result = 0
        elif weights[i-1] > j:
            result = dp(i-1, j)
        else:
            result = max(dp(i-1, j), dp(i-1, j-weights[i-1]) + values[i-1])
        memo[i][j] = result
        return result
    
    return dp(n, capacity)

该函数的参数为物品价值列表values、物品重量列表weights和背包容量capacity。它返回能够放进背包的最大价值。

函数内部使用了一个记忆化数组memo，其中memo[i][j]表示在前i个物品中选择，在容量为j的背包中能够获得的最大价值。当memo[i][j]不为空时，直接返回memo[i][j]；否则，如果i为0或j为0，则返回0；如果第i个物品重量超过了背包容量j，则只能不选第i个物品，返回dp(i-1, j)；否则，可以选择或不选第i个物品，分别计算放入和不放入时的最大价值，取较大值。最后将结果保存在memo[i][j]中并返回。

该算法的时间复杂度为O(n * C)，其中n为物品数量，C为背包容量。

python备忘录算法解决01背包问题

01背包问题是经典的动态规划问题，其主要思想是利用递推的方式，将问题分解为子问题来求解。

假设有n个物品，每个物品有一个重量w[i]和一个价值v[i]，现在有一个容量为C的背包，问如何选择物品能够使得背包中的总价值最大。

下面是Python代码实现：

def knapsack(C, w, v):
    n = len(w)
    # 初始化状态矩阵
    dp = [[0 for _ in range(C+1)] for _ in range(n+1)]
    # 递推计算状态矩阵
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, C+1):
            if j < w[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
    # 返回最优解
    return dp[n][C]

其中，状态矩阵dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包中所能得到的最大价值。

时间复杂度为O(nC)，空间复杂度为O(nC)。