背包问题的备忘录解决方法
时间: 2023-10-23 08:47:18 浏览: 111
背包问题是一个经典的动态规划问题,它的求解方法有很多,其中备忘录法是一种常见且实用的解决方法。
备忘录法的基本思路是在递归求解背包问题的过程中,将已经求解过的子问题的结果记录下来,避免重复计算,从而提高算法的效率。
具体来说,可以使用一个二维数组 memo 来记录已经求解过的子问题的结果,其中 memo[i][j] 表示在前 i 个物品中选择不超过 j 容量的最大价值。在每次递归时,先检查 memo[i][j] 是否已经计算过,如果计算过则直接返回结果,否则再进行递归求解。
递归求解的结束条件是当前物品已经全部考虑完毕,或者当前背包容量已经为 0,此时返回价值为 0。否则,如果当前物品的重量超过背包容量,则直接考虑下一个物品;否则,考虑将当前物品放入背包或者不放入背包两种情况,取其中的最大值作为当前子问题的解,并将结果记录到 memo 数组中。
最终递归求解完成后,memo[n][c] 就是在 n 个物品中选择不超过 c 容量的最大价值,即为背包问题的解。
这种备忘录法的时间复杂度为 O(n*c),空间复杂度也为 O(n*c)。虽然比一般的递归算法要快,但仍然存在一些优化空间,比如可以使用滚动数组将空间复杂度优化到 O(c) 级别。
相关问题
python备忘录解决背包问题
背包问题是一类经典的动态规划问题,可以用备忘录方法来解决。以下是一个Python实现的备忘录解决背包问题的代码:
```python
def knapsack(values, weights, capacity):
n = len(values)
memo = [[None] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
def dp(i, j):
if memo[i][j] is not None:
return memo[i][j]
if i == 0 or j == 0:
result = 0
elif weights[i-1] > j:
result = dp(i-1, j)
else:
result = max(dp(i-1, j), dp(i-1, j-weights[i-1]) + values[i-1])
memo[i][j] = result
return result
return dp(n, capacity)
```
该函数的参数为物品价值列表values、物品重量列表weights和背包容量capacity。它返回能够放进背包的最大价值。
函数内部使用了一个记忆化数组memo,其中memo[i][j]表示在前i个物品中选择,在容量为j的背包中能够获得的最大价值。当memo[i][j]不为空时,直接返回memo[i][j];否则,如果i为0或j为0,则返回0;如果第i个物品重量超过了背包容量j,则只能不选第i个物品,返回dp(i-1, j);否则,可以选择或不选第i个物品,分别计算放入和不放入时的最大价值,取较大值。最后将结果保存在memo[i][j]中并返回。
该算法的时间复杂度为O(n * C),其中n为物品数量,C为背包容量。
python备忘录算法解决01背包问题
01背包问题是经典的动态规划问题,其主要思想是利用递推的方式,将问题分解为子问题来求解。
假设有n个物品,每个物品有一个重量w[i]和一个价值v[i],现在有一个容量为C的背包,问如何选择物品能够使得背包中的总价值最大。
下面是Python代码实现:
```python
def knapsack(C, w, v):
n = len(w)
# 初始化状态矩阵
dp = [[0 for _ in range(C+1)] for _ in range(n+1)]
# 递推计算状态矩阵
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, C+1):
if j < w[i-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
# 返回最优解
return dp[n][C]
```
其中,状态矩阵dp[i][j]表示在前i个物品中,容量为j的背包中所能得到的最大价值。
时间复杂度为O(nC),空间复杂度为O(nC)。
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