%% demo for LU factorization LU分解 clear all; close all; %% 求解线性系统 Linear System Ax = b n = 3; A =randn(n); b = randn(n,1) x = CholeskysolveLS(A,b); function x =CholeskysolveLS(A,b) fprintf('||Ax-b||=%.2e\n%',norm(A*x-b)); %% LU 分解函数，Doolittle分解 function[G,G']=Cholesky(A) [m,n] = size(A); if all(eig(A) > 0) disp('A 是对称正定矩阵'); else disp('A 不是对称正定矩阵'); end [L,U] = lu(A) % 上三角矩阵U D= diag(diag(A)); % 主对角矩阵D L' = triu(A,1); % 上三角矩阵中的剩余部分 U = D * L'; % 将 U 分解为 D 和 L' 的乘积 D_sqrt = diag(sqrt(diag(D))); % 对角线元素求根号，得到根号矩阵 D_sqrt_transpose = D_sqrt.'; % 求根号矩阵的转置 D = D_sqrt * D_sqrt_transpose; % 将D分解为两个根号矩阵相乘的形式 G=L*D_sqrt A=G*G' end %% LU 求解线性系统 function x = CholeskysolveLS(A,b) [G,G']=Cholesky(A); [m,n] = size(A); y = zeros(n,1); x = zeros(n,1); for i = 1:n y(i) = b(i); for j = 1:i-1 y(i) = y(i) - y(j)*G(i,j); end end for i = n:-1:1 x(i) = y(i); for j = i+1:n x(i) = x(i) - G'(i,j)*x(j); end x(i) = x(i) / G(i,i); end end文件: hw1.m 行: 13 列: 13 运算符的使用无效。

这个错误提示是因为在 Cholesky 函数中的 G=L*D_sqrt 和 A=G*G' 这两行代码中，缺少了分号，导致运算结果被输出了，从而引发了语法错误。正确的代码如下：

function [G,G'] = Cholesky(A)
    [m,n] = size(A);
    if all(eig(A) > 0)
        disp('A 是对称正定矩阵');
    else
        disp('A 不是对称正定矩阵');
    end
    [L,U] = lu(A);  % 上三角矩阵U
    D = diag(diag(A));  % 主对角矩阵D
    L' = triu(A,1); % 上三角矩阵中的剩余部分
    U = D * L';  % 将 U 分解为 D 和 L' 的乘积
    D_sqrt = diag(sqrt(diag(D))); % 对角线元素求根号，得到根号矩阵
    D_sqrt_transpose = D_sqrt.'; % 求根号矩阵的转置
    D = D_sqrt * D_sqrt_transpose; % 将D分解为两个根号矩阵相乘的形式
    G = L * D_sqrt;
    G' = D_sqrt_transpose * L';
end

同时，你可能需要在行首添加 "function x = CholeskysolveLS(A,b)" 和 "end"，以定义和结束该函数。

相关问题

%% demo for LU factorization LU分解 clear all; close all; %% 求解线性系统 Linear System Ax = b n = 3; A =randn(n); b = randn(n,1) x = CholeskysolveLS(A,b); function x =CholeskysolveLS(A,b) fprintf('||Ax-b||=%.2e\n%',norm(A*x-b)); %% LU 分解函数，Doolittle分解 function[G,G']=Cholesky(A) [m,n] = size(A); if all(eig(A) > 0) disp('A 是对称正定矩阵'); else disp('A 不是对称正定矩阵'); end [L,U] = lu(A) % 上三角矩阵U D= diag(diag(A)); % 主对角矩阵D L' = triu(A,1); % 上三角矩阵中的剩余部分 U = D * L'; % 将 U 分解为 D 和 L' 的乘积 D_sqrt = diag(sqrt(diag(D))); % 对角线元素求根号，得到根号矩阵 D_sqrt_transpose = D_sqrt.'; % 求根号矩阵的转置 D = D_sqrt * D_sqrt_transpose; % 将D分解为两个根号矩阵相乘的形式 G=L*D_sqrt A=G*G' end %% LU 求解线性系统 function x = CholeskysolveLS(A,b) [G,G']=Cholesky(A); [m,n] = size(A); y = zeros(n,1); x = zeros(n,1); for i = 1:n y(i) = b(i); for j = 1:i-1 y(i) = y(i) - y(j)*G(i,j); end end for i = n:-1:1 x(i) = y(i); for j = i+1:n x(i) = x(i) - G'(i,j)*x(j); end x(i) = x(i) / G(i,i); end end

这段代码是用 MATLAB 实现的 LU 分解和 LU 求解线性系统的算法。其中使用了 Cholesky 分解来将矩阵分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U 的乘积，然后将 U 分解为对角矩阵 D 和 L 的转置的乘积，再将 D 分解为两个根号矩阵相乘的形式，最终得到 L 和 G（即根号矩阵）来求解线性系统。这个算法的时间复杂度为 O(n^3)，因此只适合于小规模矩阵的求解。

def QR(A): def householder(a): n = len(a) v = np.zeros(n) v[0] = np.linalg.norm(a) if a[0] < 0: v[0] = -v[0] v = v + a v = v / np.linalg.norm(v) H = np.eye(n) - 2 * np.outer(v, v) return H def qr_factorization(A): m, n = A.shape Q = np.eye(m) R = A.copy() for j in range(min(m, n)): a = R[j:, j] H = np.eye(m) H[j:, j:] = householder(a) Q = Q @ H.T R = H @ R return Q, R Q, R = qr_factorization(A) b = sp.Matrix(sp.symbols('a1:11')) # 求解Ly=b中的y y = sp.zeros(10, 1) # 初始化y y = Q.T@b # 求解Ux=y中的x x = sp.zeros(10, 1) # 初始化x for i in range(9, -1, -1): x[i] = y[i] for j in range(i+1, 10): x[i] -= R[i, j] * x[j] x[i] /= R[i, i] coeff_matrix = sp.Matrix(np.zeros((10, 10))) for i in range(10): for j in range(10): coeff_matrix[i, j] = x[i].coeff(sp.Symbol('a{}'.format(j + 1))) return(coeff_matrix)把这段代码精简一下

可以将函数`householder`和`qr_factorization`合并成一个函数，并去掉中间变量`b`和`y`，如下所示：

def QR(A):
    m, n = A.shape
    Q = np.eye(m)
    R = A.copy()
    for j in range(min(m, n)):
        a = R[j:, j]
        v = np.zeros(m)
        v[j:] = a + np.sign(a[0]) * np.linalg.norm(a) * np.eye(1, m, j)
        v = v / np.linalg.norm(v)
        H = np.eye(m) - 2 * np.outer(v, v)
        Q = Q @ H
        R = H @ R
    coeff_matrix = sp.Matrix(np.zeros((10, 10)))
    for i in range(10):
        for j in range(10):
            coeff_matrix[i, j] = sp.Matrix(x[i]).coeff(sp.Symbol('a{}'.format(j + 1)))
    return(coeff_matrix)

其中，`v`是Householder变换中的向量，`a + np.sign(a[0]) * np.linalg.norm(a) * np.eye(1, m, j)`可以用来消去第一个元素之外的元素。