非线性方程求根问题案例

一个非线性方程求根的实际问题案例是计算机图形学中的二次贝塞尔曲线（Quadratic Bézier Curve）。

二次贝塞尔曲线是由三个点 P0，P1 和 P2 确定的平面曲线，它的参数方程可以表示为：

$$x(t) = (1-t)^2 \cdot x_0 + 2t(1-t) \cdot x_1 + t^2 \cdot x_2$$

$$y(t) = (1-t)^2 \cdot y_0 + 2t(1-t) \cdot y_1 + t^2 \cdot y_2$$

其中，t 是一个介于 0 和 1 之间的参数，用来表示曲线上的点的位置。P0，P1 和 P2 是三个控制点，用来确定曲线的形状。

假设我们已知三个控制点的坐标为：

$$P_0 = (1, 1), P_1 = (2, 3), P_2 = (4, 2)$$

现在的问题是，如何计算曲线上的点，即给定一个 t 值，求出对应的曲线上的点的坐标。

我们可以将参数方程代入，得到：

$$x(t) = (1-t)^2 \cdot 1 + 2t(1-t) \cdot 2 + t^2 \cdot 4 = 2t^2 - 2t + 1$$

$$y(t) = (1-t)^2 \cdot 1 + 2t(1-t) \cdot 3 + t^2 \cdot 2 = -t^2 + 4t - 2$$

现在的问题变成了，如何求解方程 $2t^2 - 2t + 1 = x$ 和 $-t^2 + 4t - 2 = y$。

这是一个非线性方程求根的问题，我们可以使用牛顿迭代法等数值方法来求解。通过不断迭代，我们可以得到一个足够精确的解，从而计算出曲线上的点的坐标。