距离度量。给定平面空间的任意两个点 和 ,定义函数 1)判断该函数是否可以作为 距离度量 2)证明你的结论(如果证明部分错误,则第1问不得分)
时间: 2024-04-22 15:21:36 浏览: 50
首先,函数 $d(p,q) = \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}$ 可以作为距离度量。
证明:
要证明 $d(p,q)$ 满足距离度量的三个条件:
1. 非负性:对于任意 $p,q\in\mathbb{R}^2$,$d(p,q)\geq 0$。
成立,因为 $d(p,q)$ 是欧几里得距离,即两点之间的直线距离,显然非负。
2. 同一性:对于任意 $p,q\in\mathbb{R}^2$,$d(p,q)=0$ 当且仅当 $p=q$。
成立,因为两点之间的直线距离为 $0$ 当且仅当两点重合。
3. 对称性:对于任意 $p,q\in\mathbb{R}^2$,$d(p,q)=d(q,p)$。
成立,因为欧几里得距离是对称的,即 $d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}=\sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2}=d(q,p)$。
4. 三角不等式:对于任意 $p,q,r\in\mathbb{R}^2$,有 $d(p,r)\leq d(p,q)+d(q,r)$。
成立,因为欧几里得距离满足三角不等式,即
$$
d(p,r)=\sqrt{(p_1-r_1)^2 + (p_2-r_2)^2}\leq \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}+\sqrt{(q_1-r_1)^2 + (q_2-r_2)^2}=d(p,q)+d(q,r)
$$
因此,$d(p,q)$ 满足距离度量的所有条件,可以作为距离度量。
相关问题
判断该函数是否可以作为 距离度量
给定 $n$ 维欧几里得空间中的任意两个点 $x=(x_1, x_2, ..., x_n)$ 和 $y=(y_1, y_2, ..., y_n)$,定义函数 $d(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$。
这个函数可以作为距离度量。
证明:
要证明 $d(x,y)$ 满足距离度量的三个条件:
1. 非负性:对于任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$,$d(x,y)\geq 0$。
成立,因为 $d(x,y)$ 是欧几里得距离,即两点之间的直线距离,显然非负。
2. 同一性:对于任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$,$d(x,y)=0$ 当且仅当 $x=y$。
成立,因为两点之间的直线距离为 $0$ 当且仅当两点重合。
3. 对称性:对于任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$,$d(x,y)=d(y,x)$。
成立,因为欧几里得距离是对称的,即 $d(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-x_i)^2}=d(y,x)$。
4. 三角不等式:对于任意 $x,y,z\in\mathbb{R}^n$,有 $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$。
成立,因为欧几里得距离满足三角不等式,即
$$
d(x,z)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2}\leq \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}+\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2}=d(x,y)+d(y,z)
$$
因此,$d(x,y)$ 满足距离度量的所有条件,可以作为距离度量。
本题要求实现一个函数,对给定平面任意两点坐标 (x1,y1)和x2,y2),求这两点之间的距离
可以使用勾股定理来计算两点之间的距离,即:
distance = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
其中,sqrt() 表示求平方根。
以下是 Python 的代码实现:
```python
import math
def distance(x1, y1, x2, y2):
return math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2)
```
使用方法:
```python
print(distance(0, 0, 3, 4)) # 输出 5.0
```
这表示点 (0,0) 和点 (3,4) 之间的距离为 5。