距离度量。给定平面空间的任意两个点 和 ，定义函数 1）判断该函数是否可以作为 距离度量 2）证明你的结论（如果证明部分错误，则第1问不得分）

首先，函数 $d(p,q) = \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}$ 可以作为距离度量。

证明：

要证明 $d(p,q)$ 满足距离度量的三个条件：

1. 非负性：对于任意 $p,q\in\mathbb{R}^2$，$d(p,q)\geq 0$。

成立，因为 $d(p,q)$ 是欧几里得距离，即两点之间的直线距离，显然非负。

2. 同一性：对于任意 $p,q\in\mathbb{R}^2$，$d(p,q)=0$ 当且仅当 $p=q$。

成立，因为两点之间的直线距离为 $0$ 当且仅当两点重合。

3. 对称性：对于任意 $p,q\in\mathbb{R}^2$，$d(p,q)=d(q,p)$。

成立，因为欧几里得距离是对称的，即 $d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}=\sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2}=d(q,p)$。

4. 三角不等式：对于任意 $p,q,r\in\mathbb{R}^2$，有 $d(p,r)\leq d(p,q)+d(q,r)$。

成立，因为欧几里得距离满足三角不等式，即

$$
d(p,r)=\sqrt{(p_1-r_1)^2 + (p_2-r_2)^2}\leq \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}+\sqrt{(q_1-r_1)^2 + (q_2-r_2)^2}=d(p,q)+d(q,r)
$$

因此，$d(p,q)$ 满足距离度量的所有条件，可以作为距离度量。