问题分析： 1.数字三角形问题 2.矩阵链乘问题 3. 最长公共子序列 4. 最大字段和 5. 0-1背包问题 6. 矩形嵌套问题

1. 数字三角形问题：给定一个数字三角形，从顶部出发，每次只能移动到相邻的数字，求从顶部到底部路径上所有数字之和的最大值。
- 分析：可以使用动态规划来解决该问题，从底部开始递推，每个位置上的最优解为当前位置的值加上下一行相邻的两个数字中较大的那个。最终得到从顶部到底部路径上所有数字之和的最大值。

2. 矩阵链乘问题：给定一系列矩阵，求它们相乘的最小代价。
- 分析：可以使用动态规划来解决该问题，设计一个二维数组来存储每个矩阵链的最优解，递推公式为dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j])，其中p[i-1]表示第i个矩阵的行数，p[i]表示第i个矩阵的列数，k为i到j之间的分割点。

3. 最长公共子序列问题：给定两个序列，求它们的最长公共子序列的长度。
- 分析：可以使用动态规划来解决该问题，设计一个二维数组来存储两个序列中每个子序列的最优解，递推公式为dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1（当序列i和序列j的最后一个元素相同时），dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])（当序列i和序列j的最后一个元素不同时）。

4. 最大字段和问题：给定一个序列，求它的连续子序列中，所有元素之和的最大值。
- 分析：可以使用动态规划来解决该问题，设计两个变量来存储当前的最大字段和和最大字段的起始位置，递推公式为sum[i] = max(sum[i-1]+a[i], a[i])，其中sum[i]表示以a[i]结尾的最大字段和。

5. 0-1背包问题：给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，在限定的背包容量内，选择哪些物品可以使得它们的总价值最大。
- 分析：可以使用动态规划来解决该问题，设计一个一维数组来存储当前背包容量下的最大价值，递推公式为dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i])，其中dp[j]表示背包容量为j时的最大价值，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。

6. 矩形嵌套问题：给定一些矩形，判断是否存在一种嵌套方式，使得所有矩形都被嵌套在其中一个矩形中。
- 分析：可以先按照长或宽进行排序，然后使用动态规划来解决该问题，设计一个一维数组来存储每个矩形的嵌套深度，递推公式为dp[i] = max(dp[j])+1（当第i个矩形可以嵌套在第j个矩形内部时），dp[i] = 1（当第i个矩形无法嵌套在其他矩形内部时）。最终判断是否存在一个矩形的嵌套深度等于矩形的个数即可。