小明准备把m个同样的苹果分到n个同样的篮子里,允许篮子空着,一共有多少种不同的分法
时间: 2023-05-02 18:01:45 浏览: 135
题意:小明准备把m个同样的苹果分到n个同样的篮子里,允许篮子空着,一共有多少种不同的分法。
解答:这是一个典型的组合问题,在计算组合数时需考虑篮子和苹果的位置,即若有m个苹果和n个篮子,则组合数为C(m+n-1, n-1)。
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小明有10个苹果要分给7个同学怎么分
小明有10个苹果要分给7个同学,可以采用以下方式进行分配:
1. 每个同学分到1个苹果,剩余3个苹果无法平均分配;
2. 有两个同学分到2个苹果,其余同学分到1个苹果,不剩余苹果;
3. 有一个同学分到3个苹果,其余同学分到1个苹果,剩余3个苹果无法平均分配;
总之,这种分配方式有多种可能,但需要保证10个苹果全部分配完毕,且每个同学都至少分到1个苹果。
小明爬楼梯,如果每次可以上一个台阶或者两个台阶或者3个台阶,那么上 n 级台阶一共有多少种方案?
这道题可以使用递归或者动态规划来解决。
首先考虑递归,对于上 n 级台阶,小明可以从 n-1 级、n-2 级或者 n-3 级上来,所以总方案数为到 n-1 级、n-2 级和 n-3 级的方案数之和。可以得到递推公式:
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)
其中 f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 4。
使用递归需要注意的是,当 n 很大时,会出现重复计算的问题,导致时间复杂度变高,所以需要使用记忆化搜索或者动态规划来优化。
下面给出使用动态规划的解法:
设 dp[i] 表示到达第 i 级台阶的方案数,则有:
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
边界条件为 dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4。
最终答案为 dp[n]。
代码如下(使用 Python 实现):
```python
def climb_stairs(n):
if n == 1:
return 1
if n == 2:
return 2
if n == 3:
return 4
dp = [0] * (n+1)
dp[1], dp[2], dp[3] = 1, 2, 4
for i in range(4, n+1):
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
return dp[n]
```
当输入 n=4 时,输出为 7;当输入 n=5 时,输出为 13。