3关于模40的乘法逆元
时间: 2024-06-07 07:09:10 浏览: 20
模40的乘法逆元是指在模40的意义下,对于一个整数a,找到另一个整数x,使得ax ≡ 1 (mod 40)。
要找到模40的乘法逆元,需要先判断a是否与40互质。如果a和40不互质,那么不存在模40的乘法逆元。如果a与40互质,可以用扩展欧几里得算法求解a和40的最大公约数gcd(a,40),以及满足ax + 40y = gcd(a,40)的整数解x和y。如果gcd(a,40) = 1,那么x就是a在模40意义下的乘法逆元。
举个例子,假设要求17在模40意义下的乘法逆元。首先判断17和40是否互质,发现它们的最大公约数为1,因此存在模40的乘法逆元。然后运用扩展欧几里得算法,可以求得17x + 40y = 1的一个整数解为x = 33,y = -14。因此,17在模40意义下的乘法逆元为33。
相关问题
C++求模运算的乘法逆元
对于正整数a和m,如果存在一个正整数x满足ax ≡ 1 (mod m),那么我们称x为a在模m意义下的乘法逆元。如果不存在这样的x,我们则称a在模m意义下没有乘法逆元。
求模运算的乘法逆元的方法有很多,以下是其中一种方法:
使用扩展欧几里得算法求解a和m的最大公约数gcd(a,m),如果gcd(a,m)>1,说明a在模m意义下没有乘法逆元;
如果gcd(a,m)=1,那么根据扩展欧几里得算法的推论,可以求解出一组整数x和y,使得ax+my=gcd(a,m)=1;
因为ax ≡ 1 (mod m),所以ax ≡ 1 + km,其中k是一个整数;
因此,x ≡ (1 + km)/a (mod m),其中k可以是任意整数,但是为了保证x在模m意义下的值最小,一般取k使得x的值在0~m-1之间。具体地,可以先计算(1 + km)%m,然后再计算 (1 + km)/a mod m。
以上就是求模运算的乘法逆元的基本方法。在实际计算中,可以预处理出所有1~m-1之间的整数在模m意义下的乘法逆元,存储在一个数组中,在需要使用时直接查表就可以了。
c语言EXGCD求乘法逆元
在数学中,如果a和n是整数,且它们互质,那么a对于模n的乘法逆元是一个整数x,满足ax ≡ 1 (mod n)。在C语言中,可以使用扩展欧几里得算法(EXGCD)来求解乘法逆元。EXGCD可以求出最大公约数以及满足等式mx+ny=gcd(m,n)的一组(x,y)。如果a和n互质,那么ax+ny=1,其中x就是a对于模n的乘法逆元。因此,我们可以使用EXGCD来求解a对于模n的乘法逆元。
具体实现方法如下:
1. 定义一个函数exgcd,输入参数为a、b、x、y,输出参数为最大公约数gcd和满足等式mx+ny=gcd(m,n)的一组(x,y)。
2. 在函数中,首先判断b是否为0,如果为0,则返回a作为最大公约数,同时将x赋值为1,y赋值为0。
3. 如果b不为0,则递归调用exgcd函数,输入参数为b、a%b、y、x-a/b*y,输出参数为gcd和一组(x,y)。
4. 最后返回gcd作为a对于模b的乘法逆元。
下面是C语言代码实现:
```
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int gcd = exgcd(b, a % b, y, x - a / b * y);
return gcd;
}
int mod_inverse(int a, int n) {
int x, y;
int gcd = exgcd(a, n, x, y);
if (gcd != 1) {
// a和n不互质,不存在乘法逆元
return -1;
} else {
// 返回a对于模n的乘法逆元
return (x % n + n) % n;
}
}
```
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