有n个矩形,每个矩形可以用a,b来描述,表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d(相当于旋转90度)。例如(1,5)可以嵌套在(6,2)内,但不能嵌套在(3,4)中。请设计一个动态规划算法选出尽可能多的矩形排成一行,使得除最后一个矩形外,每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。(请先给出运用动态规划法的算法思路和递推式,再写伪代码,分析复杂度)
时间: 2023-11-22 14:52:12 浏览: 31
算法思路:
1. 将所有矩形按照长和宽从小到大排序;
2. 定义dp[i]表示以第i个矩形为结尾的最大嵌套矩形数;
3. 初始状态:dp[1]=1;
4. 状态转移方程:dp[i] = max(dp[j]+1),其中j<i且第j个矩形可以嵌套在第i个矩形内;
5. 最终结果:max(dp[i])。
伪代码:
sort(rectangles) // 将矩形按长和宽从小到大排序
dp[1] = 1
for i = 2 to n do
dp[i] = 1
for j = 1 to i-1 do
if can_nest(rectangles[j], rectangles[i]) then
dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
end
end
return max(dp)
其中can_nest(rectangles[i], rectangles[j])为判断第i个矩形能否嵌套在第j个矩形内的函数。
时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n)。
具体实现可以参考以下代码:
相关问题
有n个矩形,每个矩形可以用a,b来描述,表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d(相当于旋转90度)。
这是一个经典的矩形嵌套问题,可以通过贪心算法来解决。具体步骤如下:
1. 将所有矩形按照长或宽的大小排序,即将所有矩形按照max(a,b)从小到大排序。
2. 从小到大遍历每个矩形X,尝试将其嵌套在已有的矩形Y中。
3. 对于每个矩形X,从已有的矩形中选择一个可以嵌套的矩形Y,并且使嵌套后的面积最大。
4. 如果找不到可以嵌套的矩形Y,就将X作为一个新的矩形加入到已有的矩形中。
5. 重复步骤2-4,直到所有矩形都被处理完毕。
6. 最终已有的矩形就是最大的矩形集合。
这个算法的时间复杂度是O(nlogn),其中n是矩形的个数。
有n个矩形,每个矩形可以用a,b来描述,表示长和宽。矩形x(a,b)可以嵌套在矩形y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d(相当于旋转90度)。例如(1,5)可以嵌套在(6,2)内,但不
可以嵌套在(3,4)内。现在给定n个矩形,请你找出其中最多可以嵌套多少个矩形。
解题思路:
1. 首先将所有矩形按照长和宽从小到大排序,这样可以保证后面的矩形可以嵌套在前面的矩形中。
2. 定义一个数组dp,dp[i]表示以第i个矩形为最外层矩形时,最多可以嵌套多少个矩形。
3. 对于每个矩形i,枚举前面的所有矩形j,如果矩形i可以嵌套在矩形j中,则更新dp[i]为dp[j]+1。
4. 最终答案为dp数组中的最大值。
代码实现:
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