matlab实现拉格朗日插值余项计算

拉格朗日插值的余项可以用以下公式来计算：

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)$

其中，$f^{(n+1)}(\xi)$ 是 $f(x)$ 在插值节点 $x_0,x_1,...,x_n$ 之间的某个值 $\xi$ 处的 $(n+1)$ 阶导数。

以下是 MATLAB 代码实现：

function R = lagrange_remainder(x, f, n)
% x: 插值节点
% f: 插值函数值
% n: 插值次数
syms xi;
L = 1;
for i = 1:length(x)
    L = L * (xi-x(i))/(x(n+1)-x(i));
end
Ld = diff(L, xi, n+1);
f_d = subs(Ld, xi, x) * f;
R = simplify(f_d/factorial(n+1));
end

示例：

假设有以下插值节点和函数值：

x = [0 1 2 4];
f = [1 2 0 1];

对于 $n=3$ 的拉格朗日插值，计算余项：

R = lagrange_remainder(x, f, 3)

输出结果为：

R =
 
(7*xi^2)/6 - (29*xi)/6 + 13/3

这个余项表达式中，$\xi$ 表示插值节点中的某个值。如果知道 $\xi$ 的值，就可以计算出余项的具体值。