当 t 满足条件（），使二次型 f=x12+2x22+3x32+2x1x2-2x1x3+2tx2x3是正定的。

二次型 f 的矩阵表示为：

$\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 2t & 2 \\ 0 & 2 & 3\end{pmatrix}$

由于 f 是正定的，所以它的特征值都大于 0。设矩阵的三个特征值为 λ1，λ2，λ3，则有：

$\begin{cases} \lambda_1 >0 \\ \lambda_2 >0 \\ \lambda_3 >0 \end{cases}$

而特征值的求法为解方程：

$\det(\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 2t & 2 \\ 0 & 2 & 3\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})=0$

即

$(1-\lambda)((2t-\lambda)·3-4)+2·2(2t-\lambda)+0=0$

化简得：

$\lambda^3-6t\lambda^2+13\lambda-8=0$

由于特征值都大于 0，所以所有特征值的和必须大于 0：

$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=6t>0$

同时，特征值的乘积应该等于行列式，也就是 f 的二次型系数的乘积：

$\lambda_1\lambda_2\lambda_3=\det(\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 2t & 2 \\ 0 & 2 & 3\end{pmatrix})=8t>0$

综上所述，当 t > 0 时，f 为正定二次型。