画出一棵树证明堆的先序遍历以非递增顺序列出其键

非常抱歉，我无法为您提供手绘树的能力。但是，我可以通过文字形式向您解释如何证明堆的先序遍历以非递增顺序列出其键。

首先，我们可以回顾一下堆是如何定义的。堆是一种特殊的树形数据结构，其中父节点的键值总是大于或小于它的子节点，对于大于的情况称之为大根堆，对于小于的情况称之为小根堆。

假设我们现在有一个小根堆，并且它按先序遍历的顺序列出了它的键。我们希望证明这些键是以非递增的顺序排列的。

我们可以通过反证法来证明。假设这些键不是以非递增的顺序排列的，那么存在严格递增的顺序。也就是说，存在一组键值 $a_1,a_2,a_3,...,a_n$，满足 $a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n$。

我们知道，堆中父节点的键值总是小于其子节点的键值，因此，对于一个节点 $i$，它的左子节点的键值为 $a_{2i}$，右子节点的键值为 $a_{2i+1}$。我们可以看到，对于任意的 $i$，都有 $a_i < a_{2i}$ 和 $a_i < a_{2i+1}$。

现在让我们来看一下堆的先序遍历。我们知道，先序遍历的第一个节点是堆的根节点，在这个小根堆中，它的键值是最小的。而我们之前已经假设了存在严格递增的顺序，因此 $a_1$ 小于根节点的键值，这与堆的定义矛盾。

因此，我们可以证明，对于一个小根堆，它的先序遍历一定按照非递增的顺序列出其键。类似地，对于大根堆，其先序遍历则按照非递减的顺序列出其键。

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举例一个堆证明堆的先序遍历以非递增顺序列出其键

很高兴能够回答您的问题。举例如下：

假设我们有一个堆，其先序遍历为：7, 5, 4, 6, 3, 2, 1

从上述先序遍历中可以看出，7是根节点，5和4是其左子树节点，6是5的右子节点，3和2是4的左右节点，1是2的左子节点。

按照堆的性质，每个节点的键值不大于其父节点的键值，因此，先序遍历中键值较大的节点一定排在键值较小的节点之前。因此，堆的先序遍历一定是非递增顺序。

因此，以上堆的先序遍历以非递增顺序列出键的顺序为：7, 6, 5, 4, 3, 2, 1。

希望能够回答您的问题，如果您还有其他问题可以随时问我哦。