给定一个m×n的网格，每个格子上包含一个非负整数。在网格上移动时，每次只能向下或者向右移动一步。请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

这是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法解决。

设 $dp[i][j]$ 表示从左上角到网格 $(i,j)$ 的最小路径和。则有以下状态转移方程：

$$
dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
$$

其中 $grid$ 表示给定的网格，$dp[0][0] = grid[0][0]$。

最终的答案为 $dp[m-1][n-1]$。

代码实现如下：

def minPathSum(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = grid[0][0]

    # 初始化第一列和第一行
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

    # 动态规划
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

    return dp[m-1][n-1]

时间复杂度：$O(mn)$。

相关问题

给定一个m×n的网格,每个格子上包含一个非负整数。在网格上移动时,每次只能向下或者向右移动一步。请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。

这是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法来解决。

设 $dp[i][j]$ 表示从左上角到网格 $(i,j)$ 的最小路径和，$grid[i][j]$ 表示网格 $(i,j)$ 上的数字。

边界情况：

当 $i=0$ 且 $j=0$ 时，$dp[i][j] = grid[i][j]$。

当 $i=0$ 且 $j≠0$ 时，$dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j]$。

当 $i≠0$ 且 $j=0$ 时，$dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j]$。

状态转移方程：

当 $i≠0$ 且 $j≠0$ 时，$dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]$。

最终的结果为 $dp[m-1][n-1]$。

Python 代码实现如下：

def minPathSum(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[0]*n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = grid[0][0]
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
    return dp[m-1][n-1]

时间复杂度为 $O(mn)$，空间复杂度为 $O(mn)$。

请用分支限界法解决此问题:给定一个m×n的网格，每个格子上包含一个非负整数。在网格上移动时，每次只能向下或者向右移动一步。请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

首先我们可以将这个问题转化为图论问题，将每个格子看作一个节点，在相邻的格子之间连边，权值为对应格子上的数字。然后我们可以使用分支限界法来求解最小路径和。

具体算法如下：

1. 初始化一个优先队列，将起始节点加入队列中。

2. 对于队列中的每个节点，从该节点向下和向右扩展，得到两个新节点。如果新节点不越界，就计算新节点的代价，即从起始节点到新节点的路径长度加上新节点的权值。如果新节点的代价小于当前最优解，则将新节点加入队列中。

3. 重复执行步骤2直到队列为空或者找到终点节点。

4. 如果找到了终点节点，则返回该节点的代价作为最小路径和；否则返回无解。

代码实现如下：