平稳随机序列xn通过一个单位冲击响应为hn的线形时不变系统，输出y与xn的互相关函数等于Rx与hn的卷积吗

### 回答1：
是的，如果平稳随机序列$x_n$通过一个单位冲击响应为$h_n$的线性时不变系统，输出$y$与$x_n$的互相关函数等于$R_x$与$h_n$的卷积。这可以使用线性时不变系统的卷积定理来证明。

具体地，设$y_n$为$x_n$通过线性时不变系统得到的输出，则有

$$
y_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h_k x_{n-k}
$$

则$y_n$和$x_n$的互相关函数为

$$
\begin{aligned}
R_{yx}(m) &= E[x_n y_{n+m}] \\
&= E[x_n \sum_{k=-\infty}^{\infty} h_k x_{n+m-k}] \\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} h_k E[x_n x_{n+m-k}] \\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} h_k R_x(m-k)
\end{aligned}
$$

这就是$R_x$和$h_n$的卷积形式。因此，输出$y$与$x_n$的互相关函数等于$R_x$与$h_n$的卷积。

### 回答2：
是的，平稳随机序列xn通过一个单位冲击响应为hn的线性时不变系统，输出y与xn的互相关函数等于Rx与hn的卷积。

互相关函数表示了两个信号之间的相似程度。对于平稳随机序列xn，其自相关函数Rx定义为Rx(t1,t2) = E(x(t1)*x(t2))，其中E表示期望值。单位冲击响应hn表示了系统对单位冲击信号的响应。

根据线性时不变系统的特性，系统对于输入信号xn的响应可以通过卷积来表示。所以，系统的输出信号y可以表示为y(t) = (xn*hn)(t)，其中*表示卷积运算。

而互相关函数Rxy(t1,t2)表示了输出信号y与输入信号xn之间的相似程度，根据卷积的性质，可以得到Rxy(t1,t2) = E(y(t1)*x(t2)) = E((xn*hn)(t1)*x(t2)) = E((xn(t1-t2)*hn(t1-t2)) = (Rx*hn)(t1,t2)。

因此，输出y与xn的互相关函数Rxy等于输入信号的自相关函数Rx与单位冲击响应hn的卷积。

### 回答3：
是的，平稳随机序列xn通过一个单位冲击响应为hn的线形时不变系统，输出y与xn的互相关函数等于Rx与hn的卷积。

在时域中，互相关函数表示两个信号之间的相互影响程度。对于平稳随机序列与线性时不变系统，其输出信号y可以表示为输入信号xn与系统的冲击响应hn的卷积操作。即：
y = xn * hn

而互相关函数可以表示为输入信号xn与输出信号y的卷积操作。即：
Rxy(t) = xn ⊗ y(t)

由于输出信号y等于输入信号xn与系统的冲击响应hn的卷积，所以可以将其代入互相关函数的表达式中。得到：
Rxy(t) = xn ⊗ (xn * hn)
= (xn ⊗ xn) * hn

由数学性质可知，卷积操作具有结合律，即(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)。因此，上式可以进一步化简为：
Rxy(t) = (xn ⊗ xn) * hn
= Rx(t) * hn

因此，可以得出结论，平稳随机序列xn通过一个单位冲击响应为hn的线形时不变系统，输出y与xn的互相关函数等于Rx与hn的卷积。