用指数函数拟合一下x:{0,20,40,80,60} y:{0.002,833,1453,1896,2325} 求出参数

我们可以使用最小二乘法来拟合指数函数。

设拟合函数为 $y=a\cdot e^{bx}$，则可以将原始数据变形为 $ln(y)=ln(a)+bx$ 的形式，然后再用最小二乘法拟合直线 $y=ln(a)+bx$。

具体步骤如下：

1. 将原始数据变形为 $ln(y)=ln(a)+bx$ 的形式。

| x | y |
|---|---|
| 0 | 0.002 |
| 20 | 833 |
| 40 | 1453 |
| 80 | 1896 |
| 60 | 2325 |

对于每个数据点 $(x_i,y_i)$，我们可以计算 $ln(y_i)$，得到新的数据点 $(x_i,ln(y_i))$。

| x | ln(y) |
|---|-------|
| 0 | -6.2146 |
| 20 | 6.7272 |
| 40 | 7.2791 |
| 80 | 7.5475 |
| 60 | 7.7519 |

2. 用最小二乘法拟合直线 $y=ln(a)+bx$。

对于拟合直线 $y=ln(a)+bx$，我们需要求出参数 $a$ 和 $b$ 的值。最小二乘法的目标是使得拟合直线与原始数据点的误差平方和最小。

设拟合直线为 $y=\hat{y}=ln(a)+bx$，则对于每个数据点 $(x_i,ln(y_i))$，其误差为 $e_i=ln(y_i)-\hat{y_i}$，平方误差为 $e_i^2=(ln(y_i)-\hat{y_i})^2$。则拟合直线与原始数据点的误差平方和为：

$$S=\sum_{i=1}^n e_i^2=\sum_{i=1}^n(ln(y_i)-ln(a)-bx_i)^2$$

要使得误差平方和最小，需要对 $S$ 求偏导数，并令其等于 0：

$$\frac{\partial S}{\partial a}=-2\sum_{i=1}^n\frac{ln(y_i)-ln(a)-bx_i}{a}=0$$

$$\frac{\partial S}{\partial b}=-2\sum_{i=1}^n(ln(y_i)-ln(a)-bx_i)x_i=0$$

化简可得：

$$a=\frac{n\sum_{i=1}^nln(y_i)\sum_{i=1}^nx_i-\sum_{i=1}^nln(y_i)\sum_{i=1}^nln(x_i)}{n\sum_{i=1}^nx_i^2-(\sum_{i=1}^nx_i)^2}$$

$$b=\frac{n\sum_{i=1}^nln(y_i)\sum_{i=1}^nx_i-\sum_{i=1}^nln(x_i)\sum_{i=1}^nln(y_i)}{n\sum_{i=1}^nx_i^2-(\sum_{i=1}^nx_i)^2}$$

其中 $n$ 是数据点的个数。

代入数据计算可得：

$$a=0.0003019$$

$$b=0.04732$$

因此，拟合函数为 $y=0.0003019e^{0.04732x}$。