最优化问题min||X-FF^(T)X||_{F}^2怎么转换为maxTr(F^(T)XX^(T)F)的

我们可以将原问题表示为：

minimize ||X-FF^(T)X||_{F}^2

将其展开可得：

minimize tr((X-FF^(T)X)^T(X-FF^(T)X))

进一步展开可得：

minimize tr(X^TX - X^TFF^TX - X^TXF^TFX + X^TFF^TFF^TX)

将最后一项中的FF^T看做一个矩阵G，可得：

minimize tr(X^TX - X^TFF^TX - X^TXF^TFX + X^TGX)

我们可以对该式进行求导，令其等于0：

∂tr(X^TX - X^TFF^TX - X^TXF^TFX + X^TGX) / ∂X = 0

化简可得：

X = FG^T

将X的表达式代入原式可得：

maximize tr(F^TXX^TF)

化简可得：

maximize tr(F^TFG^TF)

因此，原问题可以转化为：

maximize tr(F^(T)XX^(T)F)