根号下的8-y²的0到2的定积分如何求
时间: 2024-05-27 10:09:23 浏览: 23
首先,我们需要将被积函数进行化简。根据差平方公式,我们可以将 $\sqrt{8-y^2}$ 化简为 $2\sqrt{2-(\frac{y}{\sqrt{2}})^2}$。因此,原定积分可以写成:
$$\int_{0}^{2}\sqrt{8-y^2}dy = \int_{0}^{2}2\sqrt{2-(\frac{y}{\sqrt{2}})^2}dy$$
接下来,我们进行变量代换。令 $y=\sqrt{2}\sin{t}$,则有 $dy=\sqrt{2}\cos{t}dt$。当 $y=0$ 时,$t=0$;当 $y=2$ 时,$t=\frac{\pi}{4}$。因此,原定积分可以变为:
$$\begin{aligned} \int_{0}^{2}2\sqrt{2-(\frac{y}{\sqrt{2}})^2}dy &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}2\sqrt{2-(\frac{\sqrt{2}\sin{t}}{\sqrt{2}})^2}\sqrt{2}\cos{t}dt \\ &= 2\sqrt{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^2{t}dt \\ &= 2\sqrt{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+\cos{2t}}{2}dt \\ &= \frac{\pi\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$
因此,原定积分的值为 $\frac{\pi\sqrt{2}}{2}$。
相关问题
计算根号下x-x²的积分
好的,让我给你解答一下。具体步骤如下:
首先,我们可以将根号下x-x²表示成x的函数形式,即:
根号下x-x² = 根号下(1/4 - (x-1/2)²)
然后,我们进行换元,假设 u = x - 1/2,那么当 x = u + 1/2 时,则原积分可化为:
∫根号下x-x² dx = ∫根号下(1/4 - u²) du
接下来,我们可以使用反三角函数公式进行代换,设 u = 1/2 sinθ,则有 du = 1/2 cosθ dθ,同时注意到当 x = 0 时,u = -1/2,当 x = 1 时,u = 1/2,因此积分上下限变为 -π/2 和 π/2,得到:
∫根号下x-x² dx = ∫根号下(1/4 - u²) du
= ∫√(1/4 - (1/2 sinθ)²) (1/2 cosθ) dθ
= 1/2 ∫cos²θ dθ
最后,我们可以使用常用积分公式 ∫cos²θ dθ = (θ + sinθcosθ)/2,得到原积分的答案为:
∫根号下x-x² dx = 1/2 ∫cos²θ dθ = (θ + sinθcosθ)/4 + c
其中,θ 的取值范围为 [-π/2, π/2],而 c 为积分常数。
y^2根号(1-y^2)对y求积分
这是一个常见的三角函数积分,可以通过代换法来求解。
令y = sin(u),则dy = cos(u) du,根号(1-y^2)= cos(u)。
将y = sin(u)和根号(1-y^2)= cos(u)代入原式中,得到:
∫y^2根号(1-y^2)dy = ∫sin^2(u)cos(u)du
利用三角恒等式sin^2(u) = (1-cos(2u))/2,将原式改写为:
∫(1-cos(2u))/2 * cos(u)du
展开后得到:
1/2 * ∫cos(u)du - 1/2 * ∫cos(3u)du
对于第一个积分,直接积分得到sin(u)。对于第二个积分,可以使用代数法和三角恒等式来求解:
cos(3u) = 4cos^3(u) - 3cos(u)
将其代入第二个积分中,得到:
-1/6 * ∫(4cos^3(u) - 3cos(u))du
利用代数法和三角恒等式化简后,得到:
-1/6 * (sin(u) + 3/4 * sin(3u)) + C
将u = arcsin(y)代回原式,得到最终答案:
-1/6 * (y * √(1-y^2) + 3/4 * √(1-y^2)^3) + C
其中,C为积分常数。