根号下的8-y²的0到2的定积分如何求

首先，我们需要将被积函数进行化简。根据差平方公式，我们可以将 $\sqrt{8-y^2}$ 化简为 $2\sqrt{2-(\frac{y}{\sqrt{2}})^2}$。因此，原定积分可以写成：

$$\int_{0}^{2}\sqrt{8-y^2}dy = \int_{0}^{2}2\sqrt{2-(\frac{y}{\sqrt{2}})^2}dy$$

接下来，我们进行变量代换。令 $y=\sqrt{2}\sin{t}$，则有 $dy=\sqrt{2}\cos{t}dt$。当 $y=0$ 时，$t=0$；当 $y=2$ 时，$t=\frac{\pi}{4}$。因此，原定积分可以变为：

$$\begin{aligned} \int_{0}^{2}2\sqrt{2-(\frac{y}{\sqrt{2}})^2}dy &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}2\sqrt{2-(\frac{\sqrt{2}\sin{t}}{\sqrt{2}})^2}\sqrt{2}\cos{t}dt \\ &= 2\sqrt{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^2{t}dt \\ &= 2\sqrt{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+\cos{2t}}{2}dt \\ &= \frac{\pi\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$

因此，原定积分的值为 $\frac{\pi\sqrt{2}}{2}$。