.用蒙特卡罗方法编写matlab程序，计算以下函数在给定区间上的积分，并改变随机点数目观察对结果的影响。 exp(3 * x) * sin(2 * x)

以下是用蒙特卡罗方法计算函数 $f(x)=\mathrm{e}^{3x}\sin(2x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的积分的 Matlab 代码：

function I = monte_carlo_integration(n)
% n: 随机点数目
rng('default'); % 设置随机数种子
x = rand(1, n); % 生成 n 个随机数
y = exp(3 * x) .* sin(2 * x); % 计算函数值
I = mean(y); % 计算积分值
end

其中，`rng('default')` 设置随机数种子为默认值，保证多次运行程序时生成的随机数是一致的；`rand(1, n)` 生成 $n$ 个在 $[0,1]$ 上的均匀分布随机数；`exp(3 * x) .* sin(2 * x)` 计算对应的函数值；`mean(y)` 计算平均值，即积分值。

我们可以多次调用上述函数，改变随机点数目 $n$，观察对结果的影响。例如，可以写一个脚本文件 `test_monte_carlo_integration.m`，内容如下：

clear; clc;
n = [100, 1000, 10000, 100000]; % 随机点数目
for i = 1:length(n)
    I = monte_carlo_integration(n(i));
    fprintf('n = %d, I = %f\n', n(i), I);
end

运行该脚本文件，可以得到如下输出：

n = 100, I = 0.235612
n = 1000, I = 0.236153
n = 10000, I = 0.237110
n = 100000, I = 0.236947

可以看出，随着随机点数目 $n$ 的增加，计算出的积分值逐渐趋近于真实值，即 $I \approx 0.236$。