给我一个电磁场与物质的耦合过程中的能量传递的本征值问题

假设我们有一个电磁场与物质的耦合系统，其中电磁场的能量密度为$u_{em}$，物质的能量密度为$u_{mat}$。能量在电磁场和物质之间传递的过程可以用以下方程描述：

$$\frac{\partial u_{em}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S}_{em} = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$$

$$\frac{\partial u_{mat}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S}_{mat} = \mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$$

其中，$\mathbf{S}_{em}$和$\mathbf{S}_{mat}$分别表示电磁场和物质的能流密度，$\mathbf{J}$表示物质的电流密度，$\mathbf{E}$表示电场强度。

现在我们要求能量传递的本征值，即存在这样一个解$u_{em}(\mathbf{r},t)$和$u_{mat}(\mathbf{r},t)$，使得它们满足以上方程，并且能量的传递速率为常数$\lambda$。换句话说，我们要求满足以下条件的解：

$$\frac{\partial u_{em}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S}_{em} = -\lambda u_{mat}$$

$$\frac{\partial u_{mat}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S}_{mat} = \lambda u_{mat}$$

为了求解这个问题，我们可以先假设$u_{em}$和$u_{mat}$可以分别表示为以下形式：

$$u_{em}(\mathbf{r},t) = A_{em} e^{-i\omega t} \psi_{em}(\mathbf{r})$$

$$u_{mat}(\mathbf{r},t) = A_{mat} e^{-i\omega t} \psi_{mat}(\mathbf{r})$$

其中，$A_{em}$和$A_{mat}$分别表示电磁场和物质的振幅，$\omega$表示角频率，$\psi_{em}$和$\psi_{mat}$分别表示电磁场和物质的空间分布。将上述形式代入上述方程，我们可以得到：

$$i\omega A_{em} \psi_{em} + \nabla \cdot \mathbf{S}_{em} = -\lambda A_{mat} \psi_{mat}$$

$$i\omega A_{mat} \psi_{mat} + \nabla \cdot \mathbf{S}_{mat} = \lambda A_{mat} \psi_{mat}$$

我们可以将上述方程化为矩阵形式：

$$\begin{pmatrix} i\omega & \nabla \cdot \mathbf{S}_{em} \\ \nabla \cdot \mathbf{S}_{mat} & i\omega - \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{em} \\ A_{mat} \end{pmatrix} = \mathbf{0}$$

上述方程的解必须满足行列式为零，即：

$$\det \begin{pmatrix} i\omega & \nabla \cdot \mathbf{S}_{em} \\ \nabla \cdot \mathbf{S}_{mat} & i\omega - \lambda \end{pmatrix} = 0$$

解出上述方程，我们可以得到能量传递的本征值$\lambda$。