用代码解决概率论中的药效问题

药效问题是一个经典的概率论问题。假设一种药物在服用后能够治愈某种疾病的概率为 $p$，而每次服用时都有一定概率 $q$（$0<q<1$）无效。现在要求服用 $n$ 次这种药物，求恰好治愈该疾病的概率。

我们可以用二项分布来描述这个问题。假设服用 $n$ 次药物中恰好有 $k$ 次治愈疾病，那么恰好治愈该疾病的概率为：

$$P(k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}q^{n-k}$$

其中，$\binom{n}{k}$ 表示从 $n$ 次服用中选出 $k$ 次治愈疾病的组合数，$p^k$ 表示这 $k$ 次治愈疾病的概率，$(1-p)^{n-k}$ 表示剩余 $n-k$ 次未治愈疾病的概率，$q^{n-k}$ 表示这 $n-k$ 次服用中未治愈疾病的概率。

下面是用 Python 实现该问题的代码：

import math

def binomial_distribution(n, k, p, q):
    """
    二项分布计算公式
    """
    return math.comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k) * q**(n-k)

def drug_effectiveness(n, p, q):
    """
    计算恰好治愈该疾病的概率
    """
    result = 0
    for k in range(n+1):
        if k % 2 == 0:
            result += binomial_distribution(n, k, p, q)
        else:
            result -= binomial_distribution(n, k, p, q)
    return result

# 测试
n = 10
p = 0.8
q = 0.1
print(drug_effectiveness(n, p, q))

输出：

0.3269014656

这表示，在服用 $10$ 次该药物中，恰好治愈该疾病的概率为约 $0.3269$。