利用动态规划解决钢条切割问题,给出伪代码与时间复杂度分析
时间: 2023-08-10 11:36:12 浏览: 58
以下是钢条切割问题的动态规划解法的伪代码:
```
/*
lengths: 钢条长度对应的价格数组
n: 钢条长度
*/
cut_rod(lengths, n)
1. let r[0...n] be a new array
2. r[0] = 0
3. for j = 1 to n
4. q = -inf
5. for i = 1 to j
6. q = max(q, lengths[i] + r[j-i])
7. r[j] = q
8. return r[n]
```
时间复杂度分析:
- 第1行需要O(1)的时间。
- 第2行需要O(1)的时间。
- 第3行到第8行需要O(n^2)的时间,因为它们的嵌套循环运行次数为Σj=1->n(j) = n(n+1)/2。
- 最后一行需要O(1)的时间。
因此,cut_rod函数的总时间复杂度为O(n^2)。
相关问题
利用动态规划思想解决背包问题,给出伪代码和时间复杂度分析
伪代码:
```
function knapsack(weights[], values[], capacity):
n = length(weights)
dp = new 2D array[n+1][capacity+1]
// 初始化第一行和第一列
for j from 0 to capacity:
dp[0][j] = 0
for i from 1 to n:
dp[i][0] = 0
// 动态规划
for i from 1 to n:
for j from 1 to capacity:
if weights[i-1] > j:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])
return dp[n][capacity]
```
时间复杂度分析:
该算法使用了二维数组来存储子问题的解,因此空间复杂度为O(nc),其中c为背包容量,n为物品数量。时间复杂度为O(nc),因为算法使用了两重循环来遍历所有子问题。因此,该算法在处理较小的背包问题时效率较高,但在处理较大的问题时,时间和空间复杂度都会增加。
利用分支界限法解决货郎问题,给出伪代码与时间复杂度分析
伪代码如下:
```python
def tsp_bnb(graph):
n = len(graph)
best_path = None
best_cost = float('inf')
visited = [False] * n
def dfs(path, cost, bound):
nonlocal best_path, best_cost
node = path[-1]
if len(path) == n:
if cost < best_cost:
best_path = path
best_cost = cost
return
for i in range(n):
if not visited[i]:
visited[i] = True
new_path = path + [i]
new_cost = cost + graph[node][i]
new_bound = bound - graph[node][i]
if new_bound + new_cost < best_cost:
dfs(new_path, new_cost, new_bound)
visited[i] = False
for i in range(n):
visited[i] = True
dfs([i], 0, sum(graph[i]) - graph[i][i])
visited[i] = False
return best_path, best_cost
```
时间复杂度分析:假设有 n 个节点,分支界限法的时间复杂度为 O(b^d),其中 b 为分支因子,d 为深度。对于货郎问题来说,每个节点都有 n-1 条边可以扩展,因此 b=n-1。最坏情况下,需要遍历所有的 n! 个排列,即需要遍历 n! 个节点,因此 d=n-1。因此,分支界限法的时间复杂度为 O((n-1)^(n-1)),实际求解时一般会进行剪枝等优化,因此时间复杂度会有所降低。