给定有限集合上二元关系的关系矩阵，求由其诱导出的等价关系的关系矩阵。

给定有限集合 $X$ 上二元关系的关系矩阵 $R$，其中 $R_{i,j}=1$ 表示 $i$ 和 $j$ 有关系，否则 $R_{i,j}=0$。我们可以通过该关系矩阵构造出等价关系的关系矩阵。

具体地，我们可以用传递闭包算法（Transitive Closure）来求得该关系对应的等价关系。传递闭包算法的基本思想是：从给定关系的矩阵出发，通过迭代的方式不断扩展关系，直到关系满足传递性为止。

我们定义 $R^{(k)}$ 表示 $R$ 的第 $k$ 次幂，即 $R^{(k)}=R\times R\times...\times R$（$k$ 个 $R$ 相乘）。显然，$R^{(1)}=R$。我们可以依次求出 $R^{(2)},R^{(3)},...$ 直到 $R^{(n)}$ 不再发生变化为止，此时 $R^{(n)}$ 就是关系 $R$ 的传递闭包。

求得传递闭包后，我们可以根据等价关系的定义，构造出其关系矩阵 $E$。具体地，对于 $x,y\in X$，如果 $x$ 和 $y$ 在等价关系下等价，则 $E_{x,y}=1$，否则 $E_{x,y}=0$。

因此，等价关系的关系矩阵 $E$ 可以通过以下公式计算得到：

$$E=R^{(n)}$$

其中 $n$ 是满足 $R^{(n)}=R^{(n+1)}$ 的最小正整数。

相关问题

给定有限集合上二元关系的关系矩阵，求其对称闭包的关系矩阵。C语言

以下是一个简单的 C 语言函数，可以输入一个 $n \times n$ 的关系矩阵 $R$，输出其对称闭包 $S$：

#define MAXN 100

void sym_closure(int R[][MAXN], int S[][MAXN], int n) {
    int i, j, k;

    // 将 S 初始化为 R
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            S[i][j] = R[i][j];
        }
    }

    // 将对称元素加入 S 中
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (S[i][j] != 0 && S[j][i] != 0) {
                S[j][i] = 1;
            }
        }
    }
}

其中，$R$ 和 $S$ 都是二维数组，每个元素为 $0$ 或 $1$，表示关系矩阵和对称闭包矩阵中的元素是否存在。参数 $n$ 表示矩阵的维度，假定矩阵的行列数均不超过 $100$。函数的具体实现是先将 $S$ 初始化为 $R$，然后遍历 $S$ 中的每个元素，如果该元素和其对称元素都存在，则将对称元素加入到 $S$ 中。

给定一个有限集合上的等价关系R，求这个等价关系的划分。

### 回答1：
等价关系R的划分是指将该集合分成若干个不相交的子集，每个子集中的元素在关系R下互相等价。我们可以通过以下步骤求得等价关系R的划分：

1. 将集合中的元素全部放入一个子集中。

2. 对于每个子集，找到其中一个元素x，将与x等价的元素全部放入同一个子集中。

3. 重复步骤2，直到所有元素都被划分到某个子集中。

4. 所有子集就是等价关系R的划分。

例如，对于集合{1,2,3,4,5}上的等价关系R={(1,2),(2,3),(4,5)}，我们可以按照以下步骤求得其划分：

1. {1,2,3,4,5}

2. 子集1：{1,2,3}，子集2：{4,5}

3. 子集1：{1,2,3}，子集2：{4,5}

4. 划分为子集{1,2,3}和{4,5}。

因此，等价关系R的划分为{{1,2,3},{4,5}}。

### 回答2：
等价关系的划分是将给定的集合按照等价关系R进行划分，使得每个等价类只含有具有相同等价关系的元素，并且每个元素都属于一个等价类。

具体的求解过程如下：

1. 首先，遍历集合中的每一个元素，将它们分为若干个等价类。

2. 对于每一个元素x，遍历集合中的其他元素y，判断x和y是否具有相同的等价关系R。若x和y具有相同的等价关系，则将y归纳到与x相同的等价类中。

3. 重复步骤2，直到遍历完集合中的所有元素。

4. 最终，得到的等价类即为等价关系R的划分。

举个例子进行说明：假设有集合{1,2,3,4}上的等价关系R，其中R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4)}。根据上述的求解过程，可以得到等价关系R的划分为{{1,2},{3},{4}}，其中{1,2}表示含有元素1和2的等价类，{3}表示含有元素3的等价类，{4}表示含有元素4的等价类。

需要注意的是，等价关系的划分是唯一的，也即对于同一个等价关系R，其划分的结果是确定的。在实际求解过程中，可以维护一个等价类的列表，遍历集合中的元素并与列表中的等价类进行比较，将元素归纳到相应的等价类中。

### 回答3：
给定一个有限集合上的等价关系R，我们需要求出这个等价关系的划分。

首先，我们可以将集合中的元素按照等价关系R进行分组。对于集合中的任意两个元素a和b，如果它们满足aRb，则将它们放在同一个分组中。如果a不等于b，并且既不满足aRb，也不满足bRa，则将a和b放在不同的分组中。

然后，我们逐步扩大这些分组，直到不能再合并为止。具体操作如下：首先，我们选择一个分组，对于该分组中的任意两个元素a和b，如果存在一个元素c使得aRc，并且bRc，则将a和b放在同一个分组中。然后，我们选择下一个分组，重复上述操作，直到对所有分组都进行了这个合并操作。

最后，我们得到了划分后的等价类，每个等价类包含了满足等价关系R的所有元素。这些等价类的并集就是原集合，而且等价类之间两两不相交。

通过以上步骤，我们就获得了给定等价关系R的划分。每个划分的子集就是一个等价类，满足等价关系的元素都被放在同一个等价类中。