mathematica中如何将一个第一类贝塞尔函数有两个已知的第一类贝塞尔函数表示

如果你想将一个第一类贝塞尔函数 $J_n(x)$ 表示为两个已知的第一类贝塞尔函数 $J_m(x)$ 和 $J_{m+k}(x)$ 的线性组合，可以使用以下公式：

$$J_n(x) = \frac{(x/2)^n}{n!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+m+k)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left[(n+m+k)J_{n+m+k}(x)-J_{n+m+k-1}(x)\right]$$

其中 $m$ 和 $k$ 是任意整数。注意，当 $k=0$ 时，$J_{n+m+k-1}(x)$ 应被解释为 $J_{n+m-1}(x)$。这个公式被称为 Ferrers 公式。

相关问题

mathematica中如何将一个第一类贝塞尔函数由两个已知的第一类贝塞尔函数表示

设要求的第一类贝塞尔函数为$J_n(x)$，已知的两个第一类贝塞尔函数为$J_{n-1}(x)$和$J_{n+1}(x)$，则可以利用如下公式将$J_n(x)$表示为$J_{n-1}(x)$和$J_{n+1}(x)$的线性组合：

$$J_n(x) = \frac{2n}{x}J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x)$$

其中$n$为整数。这个公式可以从贝塞尔函数的递推关系式推导出来。

mathematica中如何将一个第一类贝塞尔函数表示为两个已知的第一类贝塞尔函数的线性组合

设 $J_\nu(x)$ 是第一类贝塞尔函数。

假设我们要将 $J_\nu(x)$ 表示为 $J_{\nu_1}(x)$ 和 $J_{\nu_2}(x)$ 的线性组合，即找到系数 $a$ 和 $b$，使得：

$$J_\nu(x) = aJ_{\nu_1}(x) + bJ_{\nu_2}(x)$$

为了求解 $a$ 和 $b$，我们可以使用贝塞尔函数的渐进公式：

$$J_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$

当 $x$ 很大时，上式的近似程度很高。因此我们可以令 $x$ 很大，然后比较两边的系数。

对于 $J_{\nu_1}(x)$ 和 $J_{\nu_2}(x)$，我们也可以使用渐进公式：

$$J_{\nu_1}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$

$$J_{\nu_2}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$

将这三个式子带入到 $J_\nu(x) = aJ_{\nu_1}(x) + bJ_{\nu_2}(x)$ 中，得到：

$$\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = a\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + b\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$

两边同时除以 $\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$，得到：

$$1 = a\frac{\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} + b\frac{\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}$$

化简，得到：

$$1 = a\frac{\cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} + b\frac{\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}$$

移项，得到：

$$a\frac{\cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} = 1 - b\frac{\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}$$

再将 $\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ 移到等式左边，得到：

$$a\cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - b\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$

因为 $\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ 不为零，所以可以将它约掉，得到：

$$a\cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 1 - b\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$

再将 $\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ 移到等式左边，得到：

$$a\cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + b\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 1$$

这就是我们需要求解的线性方程组。可以通过解这个方程组来确定 $a$ 和 $b$ 的值。