已知数列{X_n}满足当n>=2时有X_(n+1)=(1/(n+1))X_n+X_(n-1)+X_(n-2)+...+X_1，且已知X1=1，X2=3/2，求此数列通项公式。

### 回答1：
我们可以通过数学归纳法来证明{X_n}的通项公式为X_n=(n+1)/2。

首先，当n=1时，已知X1=1，符合X_n=(n+1)/2的公式。

其次，假设当n=k时，X_k=(k+1)/2，即假设公式在k处成立。

那么，我们来证明公式在k+1处也成立。根据题目中给出的递推公式，有：

X_(k+2) = (1/(k+2))X_(k+1) + X_k + X_(k-1) + ... + X_1

代入X_k=(k+1)/2，有：

X_(k+2) = (1/(k+2))(X_k + 1) + X_k + X_(k-1) + ... + X_1

整理得：

X_(k+2) = ((k+3)/2(k+2)) + (k+1)/2

化简得：

X_(k+2) = (k+3)/(2(k+2))

因此，当n=k+1时，X_(k+1) = (k+2)/2，即公式在k+1处也成立。

综上所述，我们证明了{X_n}的通项公式为X_n=(n+1)/2。

### 回答2：
数列{X_n}满足当n>=2时有X_(n+1)=(1/(n+1))X_n X_(n-1) X_(n-2) ... X_1，且已知X1=1，X2=3/2。

根据已知条件，我们可以推导出递推式：
X_(n+1) = (1/(n+1))X_n X_(n-1) X_(n-2) ... X_1
= (1/(n+1))(nX_n X_(n-1) X_(n-2) ... X_1)
= (n/(n+1))X_n X_(n-1) X_(n-2) ... X_1
= nX_n/(n+1) X_(n-1) X_(n-2) ... X_1

再根据已知的初始条件，我们可以得到X3,X4,X5,...的表达式：
X_3 = 2X_1/(3)(2)(1)(1)
= (2/3)X_1
= (2/3)(1/1)
= 2/3

X_4 = 3X_2/(4)(3)(2)(1)(1)
= (3/4)X_2
= (3/4)(3/2)
= 9/8

X_5 = 4X_3/(5)(4)(3)(2)(1)(1)
= (4/5)X_3
= (4/5)(2/3)
= 8/15

继续计算可以得到：

X_6 = 5X_4/(6)(5)(4)(3)(2)(1)(1)
= (5/6)X_4
= (5/6)(9/8)
= 15/16

X_7 = 6X_5/(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)(1)
= (6/7)X_5
= (6/7)(8/15)
= 48/105

因此，数列的通项公式为X_n = n!/(n+1)!，其中n表示第n个数的序号。

### 回答3：
我们可以观察数列的特点，根据已知条件，当n>=2时，X_(n+1)与X_n,X_(n-1),...,X_1之间的关系为：

X_(n+1) = (1/(n+1))X_n X_(n-1) ... X_1

我们来列举几个数列的项，观察规律：

X_3 = (1/3)X_2 X_1 = (1/3)(3/2)(1) = 1/2
X_4 = (1/4)X_3 X_2 X_1 = (1/4)(1/2)(3/2)(1) = 3/16
X_5 = (1/5)X_4 X_3 X_2 X_1 = (1/5)(3/16)(1/2)(3/2)(1) = 9/160
X_6 = (1/6)X_5 X_4 X_3 X_2 X_1 = (1/6)(9/160)(3/16)(1/2)(3/2)(1) = 27/3840

通过观察可以发现，数列的第n项可以表示为：

X_n = (n-1)/((n-2)!)

其中，n>=3，n为正整数，而前两项 X_1=1，X_2=3/2 已知。

因此，数列的通项公式为：

X_n = (n-1)/((n-2)!)