用scala语言实现 构造样本大小n = 10，theta=0.7的服从伯努利分布的样本，对其进行极大似然估计，估计出区间估计以及theta在区间的概率

好的，这是一个关于统计学的问题。根据您的需求，我可以回答这个问题。

首先，我们可以使用以下代码在Scala中构造服从伯努利分布的样本：

import scala.util.Random

val n = 10
val theta = 0.7

val sample = Seq.fill(n)(if (Random.nextDouble() < theta) 1 else 0)

这个代码利用了Scala中的`Seq.fill`函数生成长度为n的序列，每个元素根据随机数与theta的大小比较得到0或1。

接下来，我们可以根据似然函数对theta进行极大似然估计。伯努利分布的似然函数为：

$$L(\theta|x_1,...,x_n)=\prod_{i=1}^{n}\theta^{x_i}(1-\theta)^{1-x_i}=\theta^{\sum_{i=1}^{n}x_i}(1-\theta)^{n-\sum_{i=1}^{n}x_i}$$

对其进行求导并令导数为0，可以得到极大似然估计量：

$$\hat{\theta}_{MLE}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$$

代入样本我们得到：

val theta_MLE = sample.sum.toDouble / n.toDouble

对于区间估计，我们需要设定置信水平。这里假设置信水平为95%。根据中心极限定理，当样本大小足够大时估计量$\hat{\theta}_{MLE}$服从正态分布，并且均值为真实参数$\theta$，方差为：

$$Var(\hat{\theta}_{MLE})=\frac{\theta(1-\theta)}{n}$$

于是我们可以利用正态分布的性质得到$\theta$的区间估计：

$$[\hat{\theta}_{MLE}-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\theta}_{MLE}(1-\hat{\theta}_{MLE})}{n}},\hat{\theta}_{MLE}+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\theta}_{MLE}(1-\hat{\theta}_{MLE})}{n}}]$$

其中$z_{\alpha/2}$为置信水平为$\alpha$时的正态分布上分位数。在这里，我们可以使用Scala中的`org.apache.commons.math3.distribution.NormalDistribution`类来计算。

import org.apache.commons.math3.distribution.NormalDistribution

val alpha = 0.05
val z_alpha_2 = new NormalDistribution().inverseCumulativeProbability(1 - alpha / 2)

val var_MLE = theta_MLE * (1 - theta_MLE) / n.toDouble
val lower = theta_MLE - z_alpha_2 * Math.sqrt(var_MLE)
val upper = theta_MLE + z_alpha_2 * Math.sqrt(var_MLE)

最后，要计算theta在区间的概率，可以利用正态分布的累积分布函数来计算。

val p = new NormalDistribution(theta_MLE, Math.sqrt(var_MLE)).cumulativeProbability(upper) - 
        new NormalDistribution(theta_MLE, Math.sqrt(var_MLE)).cumulativeProbability(lower)

这样就可以得到估计结果和置信区间了。