扇束ct图像fbp公式推导

要推导扇形束CT图像的FBP公式，需要先了解一些基础知识。

在扇形束CT成像中，X射线通过物体，形成一个扇形束，被探测器阵列捕捉到，并转化为数字信号。这些数字信号被计算机处理，生成CT图像。

FBP（Filter Back Projection，滤波反投影）算法是一种经典的CT图像重建算法。这种算法将信号通过一个低通滤波器进行滤波，然后进行反投影得到原始图像。FBP重建算法的基本思路是，先对原始数据进行滤波，再进行反投影。其中，滤波的目的是去除高频噪声，反投影的目的是将数据重新映射到空间中。

在扇形束CT成像中，FBP算法的步骤如下：

1. 对原始数据进行滤波。滤波的目的是去除高频噪声，使得图像更加平滑。滤波的公式为：

$$
\hat{P}(u,v) = \int_{0}^{\pi} P(\theta, v)\cos(u\theta)d\theta
$$

其中，$P(\theta, v)$表示原始数据，$\hat{P}(u,v)$表示滤波后的数据，$u$和$v$分别表示图像的横向和纵向坐标。

2. 反投影。反投影的目的是将数据重新映射到空间中，得到原始图像。反投影的公式为：

$$
f(x,y) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} \hat{P}(u,v)\delta(x-rcos\theta-ysin\theta)\delta(y-rsin\theta+xcos\theta)rdrd\theta
$$

其中，$\hat{P}(u,v)$表示滤波后的数据，$f(x,y)$表示反投影后的图像，$\delta$表示狄拉克函数，$r$表示探测器到旋转中心的距离，$\theta$表示旋转角度，$x$和$y$分别表示图像的横向和纵向坐标。

通过这样的步骤，就可以实现扇形束CT图像的FBP重建。