高斯塞德尔迭代收敛,画出残差范数随迭代步的收敛曲线图matlab

高斯-塞德尔迭代是一种求解线性方程组的迭代方法，具有收敛性。为了画出残差范数随迭代步的收敛曲线图，需要先给出一组线性方程组和迭代过程的算法。

假设要求解的线性方程组为Ax=b，其中A是一个n×n的矩阵，b是一个n维列向量。迭代过程的算法如下：

1. 初始化一个初始解向量x0；
2. 对于k = 0,1,2,...，重复以下步骤：
2.1. 对于i = 1,2,...,n，计算新的解向量中的第i个分量值：
xi(k+1) = (bi - Σ(Aij*xj(k), j=1 to i-1) - Σ(Aij*xj(k-1), j=i+1 to n)) / Aii；
2.2. 计算当前的残差向量：
ri(k+1) = b - Ax(k+1)；
3. 计算每一步的残差范数：
||ri(k+1)|| = sqrt(Σ(ri(k+1)i^2, i=1 to n))；
其中，||ri(k+1)||表示残差向量的范数。

接下来，可以使用MATLAB编写程序来实现高斯-塞德尔迭代，并画出残差范数随迭代步的收敛曲线图。

% 设置线性方程组的系数矩阵A和常数向量b
A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4];
b = [2; 0; 2];

% 初始化初始解向量x0和计算A的对角线元素
x0 = zeros(size(b));
diagonal = diag(A);

% 设置迭代步数和存储每一步残差范数的向量
num_iterations = 20;
residual_norms = zeros(num_iterations, 1);

% 高斯-塞德尔迭代过程
x = x0;
for k = 1:num_iterations
    for i = 1:length(b)
        x(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:end)*x0(i+1:end)) / diagonal(i);
    end
    residual = b - A*x;
    residual_norms(k) = norm(residual);
    x0 = x;
end

% 画出残差范数随迭代步的收敛曲线图
plot(1:num_iterations, residual_norms, 'o-');
xlabel('迭代步数');
ylabel('残差范数');
title('高斯-塞德尔迭代收敛');

以上程序首先设置了线性方程组的系数矩阵A和常数向量b，然后进行高斯-塞德尔迭代的计算，最后使用plot函数画出残差范数随迭代步的收敛曲线图。