7-21 0-1背包问题

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，其问题描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，在限定的总重量内，选择最有价值的物品放入背包中。其中每种物品只有一个，要么放入背包中，要么不放入背包中，不能选择部分放入。

具体的解题思路是，定义一个二维数组dp[i][j]，其中i表示当前考虑的物品编号，j表示当前背包的容量。dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。则状态转移方程为：

如果第i个物品的重量大于当前背包的容量j，则不能放入，所以dp[i][j]=dp[i-1][j]；

如果第i个物品的重量小于等于当前背包的容量j，则可以选择放入或不放入，分别计算两种情况的价值，取最大值作为dp[i][j]的值，即：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。

最终的答案为dp[n][m]，其中n为物品的数量，m为背包的容量。

相关问题

0-1背包问题和部分背包问题区别

0-1背包问题和部分背包问题都是经典的动态规划问题，它们都是基于一组物品和一个背包容量的限制，需要在物品总价值不超过背包容量的前提下，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化。

区别在于，0-1背包问题中每个物品只能选择放入或不放入背包，而部分背包问题中每个物品可以选择放入一部分或不放入。因此，在0-1背包问题中，每个物品只有两种状态（放或不放），而在部分背包问题中，每个物品有多种状态（放多少或不放）。这也导致了部分背包问题相对于0-1背包问题更难以解决。

另外，0-1背包问题可以使用bool类型的二维数组来表示状态转移方程，而部分背包问题则需要使用浮点数类型的二维数组来表示状态转移方程。

0-1背包问题和完全背包问题的异同

0-1背包问题和完全背包问题都是经典的背包问题，它们的共同点在于都需要在一个给定的背包容量下，选择一些物品装入背包中，使得装入的物品总价值最大。两者的不同点在于：

1. 物品的选择方式不同：

- 在0-1背包问题中，每个物品最多只能选择一次，即要么装入背包中，要么不装入。
- 在完全背包问题中，每个物品可以选择多次，即可以重复放入背包中。

2. 决策变量的不同：

- 在0-1背包问题中，决策变量是一个二元变量，表示每个物品是否被选择。
- 在完全背包问题中，决策变量是一个非负整数变量，表示每个物品放入背包中的次数。

3. 状态转移方程的不同：

- 在0-1背包问题中，状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])，表示第i件物品不放入或放入背包中对总价值的影响。
- 在完全背包问题中，状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]]+v[i])，表示第i件物品不放入或放入背包中对总价值的影响。

因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择使用哪种背包问题。