一群猴子要选大王，遴选的方法是：让m只候选猴子围成一圈，从某位置起顺序编号为0∼m−1号。从第0号开始报n个数字，每轮从0报到n−1，凡报到n−1的猴子即退出候选，接着又从紧邻的下一只猴子开始同样的报数。如此不断循环，最后剩下的一只猴子就选为猴王。问猴王是原来第几号猴子？

### 回答1：
这是一个关于选择大王的问题。选择的方法是让m只猴子围成一个圈，从某位置起顺序编号为0~m-1。从编号为0的位置开始报n个数字，每轮报到n-1的猴子退出，直到只剩下一只猴子时即为选择的猴王。接着从紧邻被删除的下一只猴子开始按同样的方式继续报数，直到只剩下一只猴子。询问的是猴王是原来第几号猴子。

### 回答2：
这是一个经典的约瑟夫问题，可以用数学归纳法来证明猴王是原来第$(m-1)\bmod n$号猴子。

首先考虑$m=1$的情况，此时只有一只猴子，那么它就是猴王，编号为0，符合结论。

接着考虑$m>1$的情况，假设$m-1$只猴子中选出的猴王的编号是$k$，我们需要证明从这$m-1$只猴子中再加入一只猴子后，选出的猴王的编号是$(k+n)\bmod m$。

首先进行报数的时候，相当于从$k$开始，报到$(k+n-1)\bmod(m-1)$的猴子出圈，它的编号是$(k+n-1)\bmod(m-1)$，此时编号大于等于$k$的猴子编号要加1。

然后从$(k+n)\bmod(m-1)$开始重新报数，这时编号小于$k$的猴子编号不变，其他猴子的编号要加1。这个过程中，我们可以把原来的猴子编号看做是$(k+0)\bmod(m-1)$到$(k+m-2)\bmod(m-1)$，只需找到新加入的猴子在这个序列中的位置即可得到猴王的新编号。

设$(k+n)\bmod(m-1)=p$，则新加入的猴子编号为$p$，根据定义可以得到它在第一轮游戏中被淘汰。此时还剩下$m-2$只猴子，猴王的编号是$k$，根据归纳假设，选出的猴王的编号是$(k+n)\bmod(m-1)$，即$p$。所以最后选出的猴王的编号就是$p=(k+n)\bmod m$，证毕。

### 回答3：
这是一道经典的约瑟夫环问题。我们可以使用递推的方法解决。

我们定义f(i)表示i只猴子中最后留下的猴子的编号。那么最终的答案即为f(m)。

首先，当只有一只猴子时，它就是猴王，即f(1)=0。

然后，我们考虑有i只猴子时最后留下的是哪一只猴子。我们可以把它们依次编号为0 ~ i-1。考虑在i只猴子中，最后退出的猴子编号为x，那么在i+1只猴子中，最后退出的猴子编号一定为(x+n)%i+1，即在i只猴子中往后数n次的猴子在i+1只猴子中的编号。

因此，我们可以得到递推公式：

f(1) = 0

f(i) = (f(i-1) + n) % i, i > 1

最终的答案即为f(m)。

例如，当m=5，n=3时，我们可以递推得到：

f(1) = 0

f(2) = (f(1) + 3) % 2 = 1

f(3) = (f(2) + 3) % 3 = 1

f(4) = (f(3) + 3) % 4 = 0

f(5) = (f(4) + 3) % 5 = 4

因此，最后留下的猴子是原来第4只猴子。