已知信号的自相关矩阵为单位阵，如何根据单位阵求出该信号

假设给定信号为 $x(t)$，其自相关函数为 $R_x(\tau)$，则自相关矩阵为：

$$
\mathbf{R}=\begin{bmatrix}R_x(0) & R_x(1) & \cdots & R_x(N-1) \\ R_x(-1) & R_x(0) & \cdots & R_x(N-2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ R_x(1-N) & R_x(2-N) & \cdots & R_x(0)\end{bmatrix}
$$

由于自相关矩阵为单位阵，因此有：

$$
\begin{aligned}
R_x(0)&=1 \\
R_x(\tau)&=0, \forall \tau \neq 0
\end{aligned}
$$

根据自相关函数的定义式可知：

$$
\begin{aligned}
R_x(\tau)&=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) x^*(t-\tau) dt \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) x(t-\tau) dt
\end{aligned}
$$

当 $\tau=0$ 时，$R_x(0)=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt$，因此 $x(t)$ 的模长必须是可积的。

当 $\tau \neq 0$ 时，$R_x(\tau)=0$，因此 $x(t)$ 在 $t$ 和 $t-\tau$ 处的值必须是正交的。

综上所述，该信号的模长必须是可积的，且在任意两个时刻的值必须是正交的。一个常见的满足条件的信号是高斯白噪声。