有 2n 张卡，第 i 张卡上写着数字 i，随机平均分配给n 个人。现在每个人手上各有两张卡，手上两张卡上写的数字的和最大的人获胜。求胜者恰好只有一个的概率。

首先，我们可以发现，每个人手上两张卡的数字之和的范围是从2到2n之间，因为每个人手上的两张卡的数字都不相同，而且数字的最小值为1，最大值为2n。

现在我们需要计算胜者恰好只有一个的概率。设事件A为胜者恰好只有一个，事件B为所有人手上的两张卡上数字之和的最大值为k，那么根据全概率公式，有：

P(A) = Σ P(A|B)P(B)

其中，P(A|B)表示在所有人手上的两张卡上数字之和的最大值为k的情况下，胜者恰好只有一个的概率，P(B)表示所有人手上的两张卡上数字之和的最大值为k的概率。

现在我们来计算P(B)。对于每个人来说，他手上两张卡的数字之和最大为k的概率为：

(2k-1)/(2n-1) * (2/n) = (4k-2)/(2n(2n-1))

其中，(2k-1)/(2n-1)表示第一张卡取到数字k-1的概率，(2/n)表示第二张卡取到数字1~n中任意一个数字的概率。

因为所有人手上两张卡的数字之和的最大值为k的概率相同，所以：

P(B) = C(2n, n) * Π [(4k-2)/(2n(2n-1))]，k从n+1到2n

其中，C(2n, n)表示从2n张卡中取n张卡分给一个人的方案数。

接下来，我们来计算P(A|B)，即在所有人手上的两张卡上数字之和的最大值为k的情况下，胜者恰好只有一个的概率。这个概率可以通过容斥原理计算。设事件C(i)表示有i个人手上的两张卡上数字之和相等，则有：

P(A|B) = C(2n, n) * Σ (-1)^i * C(n, i) * (2n-2i)^(2n-2)

其中，(-1)^i表示容斥原理中的符号，C(n, i)表示从n个人中选择i个人手上的两张卡上数字之和相等的方案数，(2n-2i)^(2n-2)表示每个选中的人手上的两张卡上数字可以任意排列的方案数。

综合上述公式，我们可以计算出胜者恰好只有一个的概率P(A)。

P(A) = Σ P(A|B)P(B)
= Σ [C(2n, n) * Σ (-1)^i * C(n, i) * (2n-2i)^(2n-2)] *