dijkstra最短路径算法

Dijkstra最短路径算法是一种用于求解加权图的最短路径的算法。它的基本思想是从起点开始，依次计算出到各个节点的最短路径，并标记已经确定了最短路径的节点。在计算过程中，需要维护一个距离数组，记录起点到各个节点的最短距离；以及一个标记数组，记录哪些节点已经确定了最短路径。

算法的具体实现中，可以使用优先队列来维护待处理的节点。每次从队列中取出距离起点最近的节点，并更新其相邻节点的最短距离。重复这个过程，直到队列为空或者到达终点，即可得到起点到终点的最短路径。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(E log V)，其中E为边数，V为节点数。

相关问题

dijkstra最短路径算法 cpp

### 回答1：
Dijkstra最短路径算法是一种常用的图论算法，用于求解带权有向图中的最短路径。它的基本思想是从起点开始，逐步扩展到所有节点，每次选择当前距离起点最近的节点进行扩展，直到到达终点或者所有节点都被扩展完毕。在实现上，可以使用优先队列来维护当前距离起点最近的节点，以提高算法效率。C++是一种常用的编程语言，可以用来实现Dijkstra算法。

### 回答2：
Dijkstra算法是一种经典的求解最短路径问题（Single-Source Shortest Path）的算法，本质上是利用贪心策略编写的。它能够求出在给定的加权有向图中，从一个源节点到其他所有节点的最短路径，并且将这些最短路径编码成一个距离数组。

Dijkstra算法的基本思想是：从任意一个顶点出发，遍历整张图，逐步扩大已在树上的节点集合，同时不断更新节点的最短路径的距离值。

具体实现中，首先需要将所有节点的距离值初始化为"无穷大"（代表不可到达），起点的距离值设为0。接着，根据起点到所有相邻节点的距离，更新这些相邻节点的距离值。然后在所有未被确定的节点中，选择距离最小的那个节点，并且将它确定为当前节点，并更新其相邻节点的距离值。依次进行下去，直到到达目标节点，或者所有节点都被确定为止。

如果我们采用邻接矩阵作为图的存储结构，那么Dijkstra算法的时间复杂度是O(n^2)，其中n是节点的数量。另外，还有一些优化措施，比如使用堆、二叉堆或斐波那契堆等数据结构，可以降低时间复杂度到O(nlogn)。

下面是Dijkstra算法的C++实现代码：

#include <limits.h> 
#include <iostream> 
#include <vector> 

using namespace std; 

int minDistance(int dist[], bool sptSet[], int V) { 
    int min = INT_MAX, min_index; 
    for (int v = 0; v < V; v++) 
        if (sptSet[v] == false && dist[v] <= min) 
            min = dist[v], min_index = v; 
    return min_index; 
} 

void printSolution(int dist[], int V) { 
    cout << "Vertex Dist from source\n"; 
    for (int i = 0; i < V; i++) 
        cout << i << " - " << dist[i] << endl; 
} 

void dijkstra(vector<vector<int> > graph, int src) { 
    int V = graph.size(); 
    int dist[V]; 
    bool sptSet[V]; 

    for (int i = 0; i < V; i++) 
        dist[i] = INT_MAX, sptSet[i] = false; 

    dist[src] = 0; 

    for (int count = 0; count < V - 1; count++) { 
        int u = minDistance(dist, sptSet, V); 
        sptSet[u] = true; 

        for (int v = 0; v < V; v++) 

            if (!sptSet[v] && graph[u][v] && dist[u] != INT_MAX 
                && dist[u] + graph[u][v] < dist[v]) 
                dist[v] = dist[u] + graph[u][v]; 
    } 

    printSolution(dist, V); 
} 

int main() { 
    vector<vector<int> > graph = {{0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0}, 
                                  {4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0}, 
                                  {0, 8, 0, 7, 0, 4, 0, 0, 2}, 
                                  {0, 0, 7, 0, 9, 14, 0, 0, 0}, 
                                  {0, 0, 0, 9, 0, 10, 0, 0, 0}, 
                                  {0, 0, 4, 0, 10, 0, 2, 0, 0}, 
                                  {0, 0, 0, 14, 0, 2, 0, 1, 6}, 
                                  {8, 11, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 7}, 
                                  {0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 7, 0}}; 

    dijkstra(graph, 0); 

    return 0; 
}

上述代码中，我们用邻接矩阵存储了一个包含9个节点的测试图，并以节点0作为起始节点调用了dijkstra函数。在dijkstra函数中，我们首先初始化了dist和sptSet两个数组，接着进行了V-1次循环，每次找出当前距离起点最近但还未被访问过的节点，并将其加入sptSet数组。然后再以该节点为中心，更新当前最短距离，直到所有节点都被访问。

最后，我们将dist数组中存储的距离结果输出。该测试图的最短路由节点0->7->6->5->4->3->2->1->8（距离为14）。

### 回答3：
Dijkstra最短路径算法是一种经典的单源最短路径算法，采用贪心策略，找出从源节点到其它节点的最短路径，可用于在图中寻找任意两点之间的最短路径。

算法过程大概可以描述为以下几步：

1.初始化：选择最近的源节点，将其到每个节点的距离初始化为无穷大，将其到自身的距离初始化为0。

2.开始循环：从距离源节点最近的节点开始（初始为源节点），遍历该节点的所有邻居节点，更新其距离表（到源节点的距离）。

3.选择下一个节点：在距离表中找到距离源节点最近的未到达节点作为下一个节点进行遍历。

4.判断是否结束：如果当前节点的距离表已经更新过，且所有未到达的节点距离均为无穷大，则终止算法。如果还有未到达的节点，则将当前节点作为下一个起始节点，回到步骤2。

在实现Dijkstra算法时，需要使用优先队列来存储每个节点到源节点的距离，优先队列会根据距离表中的距离进行排序，从小到大取出最小值，可以将时间复杂度优化到O(E*logV)。

下面给出一份简单的基于C++的Dijkstra最短路径算法实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

typedef pair<int, int> P;

vector<pair<int,int> > graph[100000];
int dist[100000];

void dijkstra(int start){
    priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > pq;
    pq.push(make_pair(0, start));
    dist[start] = 0;

    while(!pq.empty()){
        P p = pq.top();
        pq.pop();
        int node = p.second;

        if(dist[node] < p.first) continue;

        for(int i=0; i<graph[node].size(); i++){
            int adjNode = graph[node][i].first;
            int adjDist = graph[node][i].second;

            if(dist[adjNode] > dist[node] + adjDist){
                dist[adjNode] = dist[node] + adjDist;
                pq.push(make_pair(dist[adjNode], adjNode));
            }
        }
    }
}

int main(){
    int n, m, start;
    cin >> n >> m >> start;

    for(int i=0; i<m; i++){
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        graph[u].push_back(make_pair(v, w));
    }

    fill(dist, dist+n+1, INF);
    dijkstra(start);

    for(int i=1; i<=n; i++){
        if(dist[i] == INF) cout << "INF" << endl;
        else cout << dist[i] << endl;
    }
    return 0;
}

其中，graph数组存储了所有节点之间的连通关系，dist数组存储了每个节点到起始节点的距离。算法的核心实现在dijkstra函数中，实现了前面所述的4个步骤。程序从标准输入读入图的信息，处理后输出每个节点到起始节点的距离（如果不可达，则输出INF）。

dijkstra最短路径算法java

### 回答1：
Dijkstra最短路径算法是一种带权图或树的单源最短路径算法，它的主要思想是在访问过的顶点中，找到距离源点最近的顶点，然后以该顶点为中介点，更新其他顶点的最短路径。

Java实现Dijkstra最短路径算法的一种方法是：

1. 创建一个最短路径数组dist[]，用来存储每个顶点到源点的最短距离。

2. 创建一个visited[]数组，用来存储每个顶点是否已经访问过。

3. 初始化源点的最短路径为0，其他顶点的最短路径为无穷大。

4. 在未访问的顶点中找到最短路径的顶点u。

5. 标记顶点u为已访问过。

6. 更新从顶点u出发到其他顶点v的最短路径。

7. 重复步骤4-6，直到所有顶点都被访问过。

8. 输出最短路径数组dist[]。

这是一个简单的实现方法，也可以使用优先队列优化算法复杂度。

### 回答2：
Dijkstra最短路径算法是一种常见的求解图中最短路径的算法，它可以用来解决许多现实生活中的问题，比如求地图中两点之间的最短路程或者求邮递员最优路径等。

Java中实现Dijkstra算法需要以下步骤：

1. 定义图节点类
定义一个GraphNode类，其中包含节点编号、距离和一个HashMap存储与当前节点相邻的其他节点。

2. 编写Dijkstra算法
利用PriorityQueue和HashSet数据结构，实现Dijkstra算法，并返回从起始节点到各个终止节点的最短路径。具体实现过程如下：

a. 将起始节点的距离设为0，其他节点的距离设为无穷大。

b. 将所有节点添加到PriorityQueue中，按照距离升序排序。

c. 不断从PriorityQueue中取出距离最小的节点，将其加入到HashSet中，更新所有与该节点相邻的节点的距离。

d. 重复上述步骤，直到PriorityQueue为空。

3. 测试
定义一个测试类，通过输入图的节点、边和权重信息，构建出图并测试Dijkstra算法的正确性。

在实现Dijkstra算法时，需要注意以下几点：

1. 若图中存在负权边，则Dijkstra算法不能正确求解最短路径，可以采用Bellman-Ford算法解决。

2. 由于Java中PriorityQueue根据元素自然顺序进行排序，因此需要重写GraphNode类的比较方法，使其按照节点距离进行排序。

3. 一般情况下，使用HashMap存储GraphNode类与其他节点的连接关系可以较快地查找到与当前节点相邻的其他节点。

总之，Dijkstra最短路径算法是一种优秀的图算法，Java中实现也非常简单，只需要通过PriorityQueue和HashSet等数据结构实现核心算法即可。在实际应用中，我们可以根据不同场景选择不同的算法或算法改进来满足实际需求。

### 回答3：
Dijkstra最短路径算法是一种经典的图论算法，用于在一个带权有向图中，从一个源点出发，计算出到其他所有点的最短路径。该算法采用贪心策略，每次选择当前未确定最短路径的节点中，距离源点最近的节点作为下一个确定的节点，直到所有节点都被确定为止。

在Java中，可以使用邻接矩阵或邻接表存储图的结构。在使用邻接矩阵存储图时，可以采用二维数组存储图中每个节点之间的距离。在使用邻接表存储图时，可以采用一个哈希表存储每个节点及其相邻的节点和边的信息。具体实现时，可以定义一个节点类和一个边类，每个节点类包含节点编号、到源点的距离和一个布尔值表示是否已经确定最短路径，每个边类包含起点、终点和权值。

Dijkstra算法可以用一个优先队列来存储未确定最短路径的节点，每次取出距离源点最近的节点进行更新，同时将与其相邻的节点加入队列中。具体实现时，可以定义一个dist数组存储每个节点到源点的距离，一个parent数组存储每个节点在最短路径中的前驱节点，一个优先队列来存储未确定最短路径的节点，以及一个visited数组表示每个节点是否已经被访问过。

具体算法步骤如下：

1. 初始化dist数组和visited数组，将源点的距离设为0，将源点加入优先队列中
2. 从优先队列中取出距离源点最近的节点，将其标记为已访问
3. 遍历该节点相邻的所有未访问过的节点，如果通过该节点可以更新距离，则更新dist数组和parent数组，并将节点加入优先队列中
4. 重复步骤2和3，直到所有节点都被访问过

最后，可以通过遍历parent数组来获取从源点到其他节点的最短路径。总的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为节点数，由于使用了优先队列，因此算法的时间复杂度与边数相关，适合稠密图和稀疏图的计算。