证明:不可测集合的补集是不可测集

### 回答1：
为了证明不可测集合的补集是不可测集，需要使用反证法。

假设 $A$ 是一个不可测集，但是 $A$ 的补集 $A^c$ 可测。那么，我们可以得到：

$$\mu(A^c) = \mu(U) - \mu(A)$$

其中，$U$ 是定义域，$\mu(\cdot)$ 是测度函数。由于 $A$ 是不可测集，所以 $\mu(A)$ 是未定义的。因此，$\mu(A^c)$ 也应该是未定义的，这与 $A^c$ 是可测集矛盾。因此，假设不成立，即不可测集合的补集也是不可测集合。

### 回答2：
证明：设E是可测集合，即存在可测集合A，使得E的对称差集与A的对称差集是一个零集。其中，E-complement代表E的补集。

现在我们来证明E-complement是不可测的。假设E-complement是可测的，则存在可测集合B，使得E-complement的对称差集与B的对称差集是一个零集。

考虑集合A和B的并集，即A∪B。我们有以下推导：

(A∪B)∩(E∪E-complement) = (A∪B)∩(E∪(Ω-E)) （Ω为全集）
= [(A∩E)∪(A∩(Ω-E))]∪[(B∩E)∪(B∩(Ω-E))] （分配律）
= (A∩E)∪(B∩(Ω-E)) （A∩(Ω-E)和B∩E的并集是一个零集）

根据可测集合的定义，A∩E和B∩(Ω-E)都是可测集合，因此它们的并集(A∩E)∪(B∩(Ω-E))也是可测集合。由上述推导可知，(A∪B)∩(E∪E-complement)是一个可测集合。

然而，(A∪B)∩(E∪E-complement) = (A∪B)∩Ω = A∪B ≠ 零集。

由此可见，假设E-complement是可测的产生了矛盾。因此，E-complement是不可测的。

综上所述，不可测集合的补集是不可测集。

### 回答3：
设E是一个不可测集合，即不存在一个可测集合A，使得E与A的对称差为零测度。
现在假设E的补集E'是可测的。
根据可测集合的性质，对于任意的集合F，如果E'是可测的，则有E'与F的对称差为零测度。
考虑将F取为E本身，由于E与E'是互补集合，所以E与E'的对称差为全空集，即具有零测度。但是根据E的性质，不存在一个可测集合A，使得E与A的对称差为零测度。因此，我们得出矛盾。
所以，假设不成立，E的补集E'是不可测集合。