用matlab写一个多级火箭从发射到入轨的弹道方程

为了简化问题，我们假设多级火箭的每个级别都是一个质点，不考虑空气阻力和其他外力的影响。假设第一级火箭质量为 $m_1$，第二级火箭质量为 $m_2$，第三级火箭质量为 $m_3$，总质量为 $m = m_1 + m_2 + m_3$。设第 $i$ 级火箭的推进力为 $F_i$，质量变化率为 $\dot{m_i}$。火箭发射时刻为 $t=0$，火箭从地面竖直起飞，初始速度为 $v_0$。

根据牛顿第二定律，火箭的运动方程为$$
F = ma = m\frac{d^2h}{dt^2}
$$其中 $h$ 为火箭的高度。考虑到火箭在发射过程中质量会不断减少，我们可以将 $m$ 表示为时刻 $t$ 的函数 $m(t)$。则有$$
F = m(t) \frac{d^2h}{dt^2} + \frac{dm(t)}{dt} \frac{dh}{dt}
$$

由于我们假设每个级别都是质点，因此不考虑转动。根据牛顿第三定律，推进力 $F_i$ 产生的反作用力为 $-F_i$，因此总推进力为$$
F = \sum_{i=1}^3 F_i
$$

假设每个级别的推进时间为 $t_1, t_2, t_3$，则推进阶段的质量变化率为$$
\frac{dm_i}{dt} =
\begin{cases}
-\frac{m_i}{t_i}, & 0 \leq t \leq t_i \\
0, & t > t_i \\
\end{cases}
$$

综上所述，多级火箭从发射到入轨的弹道方程为$$
\begin{aligned}
F &= m(t) \frac{d^2h}{dt^2} - \sum_{i=1}^3 \frac{m_i}{t_i} \frac{dh}{dt} \\
m(t) &= m_1 + m_2 + m_3 - \sum_{i=1}^3 \frac{m_i}{t_i} t \\
\frac{dh}{dt} &= v \\
\frac{dv}{dt} &= \frac{1}{m(t)} \left(\sum_{i=1}^3 F_i - \sum_{i=1}^3 \frac{m_i}{t_i} v\right)
\end{aligned}
$$其中 $m_1, m_2, m_3, t_1, t_2, t_3$ 和初始速度 $v_0$ 都是已知量。我们可以使用 MATLAB 中的数值求解器，例如 ode45，来求解这个微分方程组。