证明: (1) 生成树的边数=顶点数-1; (2) 对于任意一个顶点vi，连接到该顶点的所有边中的一条最短边(vi, vj)必然属于最小生成树。

证明：

(1) 假设一个无向图G有n个顶点，m条边。对于一个连通图而言，如果它的生成树中有k条边，那么生成树中必须包含所有n个顶点，同时生成树中不能包含任何环。由于每个顶点只能与生成树上的一个顶点相连，所以生成树中一共有n-1条边，即生成树的边数等于顶点数减1。

(2) 假设一个无向连通图G有n个顶点，m条边。对于一个顶点vi，假设连接到该顶点的所有边中的最短边是(vi, vj)，其中vj是vi的邻居节点。我们需要证明(vi, vj)属于G的最小生成树。

假设G的最小生成树为T。如果(vi, vj)不在T中，则T中必须有一条从vi到vj的路径P，路径上至少有一条边(vk, vl)，其中vk和vl分别是路径上相邻的两个顶点。由于(vi, vj)是连接到vi的所有边中最短的一条，因此路径P的总长度一定大于(vi, vj)的长度。我们可以将路径P中的(vk, vl)替换成(vi, vj)，得到一棵新的生成树T'。由于(vi, vj)是路径P中的一条边，所以T'中仍然包含所有n个顶点，而且T'中不含任何环。同时，新的生成树T'的总权值比T小，这与T是G的最小生成树相矛盾。因此，(vi, vj)必须属于G的最小生成树。