2yy'-(y^2)/x=-x解微分方程，使用伯努利公式法求解

设变量替换为$z=y^{1-2}$，则$y=z^{\frac{1}{1-2}}=z^{-1}$，且$\frac{dy}{dx}=-z^{-2}\frac{dz}{dx}$，将其代入原方程得到：
$$
2z^{-1}(-z^{-2}\frac{dz}{dx})-\frac{z^{-2}}{x}=-x
$$
化简可得：
$$
\frac{dz}{dx}+2z^{-1}\frac{1}{x}z=-2x^{-2}z^{2}
$$
这是一个一阶Bernoulli方程，将其转化为线性形式：
$$
\frac{d}{dx}(z^{-1})-2x^{-1}z^{-1}=-2x^{-3}
$$
对其应用积分因子法，设积分因子为$\mu(x)=x^{-2}$，则有：
$$
\frac{d}{dx}(\mu(x)z^{-1})=-2x^{-4}
$$
积分得：
$$
\mu(x)z^{-1}=\frac{1}{3}x^{-3}+C
$$
代入$\mu(x)$和$z$的表达式可得：
$$
\frac{1}{x^2y}-\frac{2}{xy^2}=C-\frac{1}{3}x^{-3}
$$
化简得到：
$$
y=\frac{3Cx}{1+2Cx^3}
$$
因此，原微分方程的通解为$y=\frac{3Cx}{1+2Cx^3}$，其中$C$为任意常数。

相关问题

Hp1=H0+Pa/(dens*g)-V0^2/(2*g);

这个公式是关于流体力学的伯努利方程，其中Hp1代表在一个位置P1处的总压力头，H0代表在另一个位置P0处的总压力头，Pa代表在P1处的大气压力，dens代表液体的密度，g代表重力加速度，V0代表在P0处的流体速度。公式的意义是描述了在流体中沿着流线方向流动的惯性流体元素的能量守恒关系，即在不考虑摩擦力和外部工作的情况下，流体元素在不同位置的总压力头是相等的。这个公式被广泛应用于流体力学中，如翼型设计、水力学、气动力学等领域。

1/(n^2)求和公式

### 回答1：
1/(n^2)求和公式，也被称为无穷级数求和公式，表示对于无穷多个项1/(n^2)，求这些项的和。

这个求和公式可以表示为：Σ(1/(n^2))，其中Σ表示求和符号，n表示序号，从1开始逐渐递增。

我们可以使用一些数学方法来计算这个求和，其中最著名的方法是由瑞士数学家欧拉提出的。

按照欧拉的方法，我们可以通过求和公式得出无穷级数求和的结果为：
1/(1^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) + 1/(4^2) + ...
= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...

经过数学推导，这个求和公式的结果是一个无限接近于π^2/6的值，即：
Σ(1/(n^2)) = π^2/6

这个结果被称为巴塞尔问题的解，因为在解决巴塞尔问题时，欧拉首次推导出了这个概念。

总结起来，1/(n^2)求和公式表示对于无限多个项1/(n^2)的求和，通过数学推导可以得到这个求和的结果为π^2/6。

### 回答2：
1/(n^2)求和公式是一个数学级数的求和公式，用于计算形如1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + … + 1/n^2这样的级数。这个级数也被称为无穷级数，因为它的项数是无限个。

这个求和公式的形式可以表示为：

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + … + 1/n^2 = Σ(1/n^2)

其中，Σ表示求和运算符，n表示级数的项数。

这个级数是一个著名的数学问题，称为巴塞尔问题。这个问题由瑞士数学家雅各布·伯努利在1734年提出，并在数学家欧拉之后得到了解决。巴塞尔问题的解为无限的和为π^2/6，也就是说：

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + … = π^2/6

这个结果被称为巴塞尔问题的定理。

1/(n^2)求和公式在数学和物理问题中有着重要的应用，例如在电子学、量子力学、热力学等领域。它的收敛性和结果的数值性质都有很多有趣的性质和应用。

总结起来，1/(n^2)求和公式是一个用于计算无穷级数1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + … + 1/n^2的公式，结果为π^2/6。

### 回答3：
要求解公式1/(n^2)的求和，可以得到以下数列：
1/1^2，1/2^2，1/3^2，1/4^2，......

首先，我们可以列出前几项的数值：
1/1^2 = 1
1/2^2 = 1/4
1/3^2 = 1/9
1/4^2 = 1/16

可以观察到，数列的分母是不断增加的平方数，分子则恒为1。因此，我们可以将公式改写为：
1+1/4+1/9+1/16+...

接下来，我们来进一步将这些分数相加。我们可以使用一个数学推导技巧，称为级数，来求和。

根据级数的公式，一个以常数比率递增的数列的和可以通过以下方式计算：
S = a/(1 - r)

其中，a是首项的值，r是公比。

在这个数列中，首项a=1，而公比r=1/4，因为每个后一项都是前一项的1/4。因此，将这些值代入级数公式中，我们可以求得数列的和。

S = 1/(1 - 1/4) = 1/(3/4) = 4/3

所以，1/(n^2)的求和是4/3。