2yy'-(y^2)/x=-x解微分方程，使用伯努利公式法求解

设变量替换为$z=y^{1-2}$，则$y=z^{\frac{1}{1-2}}=z^{-1}$，且$\frac{dy}{dx}=-z^{-2}\frac{dz}{dx}$，将其代入原方程得到：
$$
2z^{-1}(-z^{-2}\frac{dz}{dx})-\frac{z^{-2}}{x}=-x
$$
化简可得：
$$
\frac{dz}{dx}+2z^{-1}\frac{1}{x}z=-2x^{-2}z^{2}
$$
这是一个一阶Bernoulli方程，将其转化为线性形式：
$$
\frac{d}{dx}(z^{-1})-2x^{-1}z^{-1}=-2x^{-3}
$$
对其应用积分因子法，设积分因子为$\mu(x)=x^{-2}$，则有：
$$
\frac{d}{dx}(\mu(x)z^{-1})=-2x^{-4}
$$
积分得：
$$
\mu(x)z^{-1}=\frac{1}{3}x^{-3}+C
$$
代入$\mu(x)$和$z$的表达式可得：
$$
\frac{1}{x^2y}-\frac{2}{xy^2}=C-\frac{1}{3}x^{-3}
$$
化简得到：
$$
y=\frac{3Cx}{1+2Cx^3}
$$
因此，原微分方程的通解为$y=\frac{3Cx}{1+2Cx^3}$，其中$C$为任意常数。