分别写出动态规划法矩阵连乘、0-1背包问题、最长公共子序列问题的算法设计，包括问题分析，建模和算法描述

1. 动态规划法矩阵连乘

问题分析：给定一系列矩阵，如何在最少的乘法次数下将它们相乘？

建模：设A1A2...An是n个矩阵的一个矩阵链，其中Ai的规模为pi-1 * pi（i = 1, 2, ..., n）。为了方便计算，我们将Ai和Ai+1相乘，得到一个新的矩阵，规模为pi-1 * pi+1（i = 1, 2, ..., n-1）。因此，原问题可以转化为求解A1A2...An-1和An的最小乘法次数。

算法描述：
1. 定义一个二维数组m[n][n]，其中m[i][j]表示AiAi+1...Aj的最小乘法次数。
2. 初始化m[i][i]为0（因为一个矩阵不需要乘法）。
3. 对于每个区间长度len（从2开始到n），依次计算m[i][i+len-1]的值。
1）设置初始值为一个极大值。
2）对于每个k（从i到i+len-2），计算m[i][k]+m[k+1][i+len-1]+pi-1 * pik * pi+len-1的值，并将其与当前最小值比较，更新最小值。
4. 最终结果为m[1][n]。

2. 0-1背包问题

问题分析：给定n个物品和一个容量为W的背包，每个物品有一定的价值和重量，如何选择物品放入背包中，使得背包内物品的总价值最大？

建模：设v[i]和w[i]分别为第i个物品的价值和重量（i = 1, 2, ..., n）。定义一个二维数组m[n][W+1]，其中m[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能得到的最大价值。

算法描述：
1. 初始化m[0][j]为0（因为没有物品可以放入背包）。
2. 对于每个物品i（从1到n），依次计算m[i][j]的值。
1）如果j<w[i]，则m[i][j]=m[i-1][j]，即无法放入当前物品，背包容量不变。
2）如果j>=w[i]，则m[i][j]=max{m[i-1][j], m[i-1][j-w[i]] + v[i]}，即可以选择放入当前物品或不放入当前物品，取最大值。
3. 最终结果为m[n][W]。

3. 最长公共子序列问题

问题分析：给定两个字符串，如何找到它们的最长公共子序列？

建模：设X和Y分别为两个字符串，长度分别为m和n。定义一个二维数组c[m+1][n+1]，其中c[i][j]表示X的前i个字符和Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。

算法描述：
1. 初始化c[i][0]和c[0][j]均为0（因为一个空字符串与任何字符串的最长公共子序列的长度均为0）。
2. 对于每个字符i和j，依次计算c[i][j]的值。
1）如果X[i] == Y[j]，则c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1，即当前字符相同，最长公共子序列长度加1。
2）如果X[i] != Y[j]，则c[i][j] = max{c[i-1][j], c[i][j-1]}，即当前字符不同，最长公共子序列长度不变。
3. 最终结果为c[m][n]。可以通过回溯得到最长公共子序列。