5. 已知列表函数 x 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 y 1.222 2.984 5.466 8.902 13.592 编写程序，用最小二乘法求形如的拟合函数，并画出图像．用matlab做

在 Matlab 中，可以使用 `polyfit` 函数进行最小二乘法拟合。

首先，将 x 和 y 转换为列向量：

x = [1.0; 2.0; 3.0; 4.0; 5.0];
y = [1.222; 2.984; 5.466; 8.902; 13.592];

然后，使用 `polyfit` 函数进行拟合，其中第一个参数是 x，第二个参数是 y，第三个参数是多项式的次数：

p = polyfit(x, y, 2);

这里我们选择二次多项式，因此次数为 2。

接下来，使用 `polyval` 函数计算拟合后的 y 值：

y_fit = polyval(p, x);

最后，使用 `plot` 函数绘制原始数据和拟合后的曲线：

plot(x, y, 'o', x, y_fit, '-')
legend('data', 'fit')

完整代码如下：

x = [1.0; 2.0; 3.0; 4.0; 5.0];
y = [1.222; 2.984; 5.466; 8.902; 13.592];

p = polyfit(x, y, 2);
y_fit = polyval(p, x);

plot(x, y, 'o', x, y_fit, '-')
legend('data', 'fit')

运行结果如下图所示：


相关问题

2. 已知 ， 和 三个多项式，求 1） ， 2） 3） 的全部根

好的，我来回答你的问题。

1）根据泰勒公式，可以将多项式表示为：

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

将 $a=0$ 代入，得到：

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$$

因此，

$$\begin{aligned}
F(x) &= f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \cdots\\
&= \sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(x)
\end{aligned}$$

代入 $f(x), f'(x), f''(x)$，得到：

$$\begin{aligned}
F(x) &= f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \cdots\\
&= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots\\
&+ f'(0) + f''(0)x + \frac{f'''(0)}{2!}x^2 + \cdots\\
&+ f''(0) + f'''(0)x + \cdots\\
&+ f'''(0) + \cdots\\
&= f(0) + (f'(0) + f(0))x + (\frac{f''(0)}{2!} + f'(0) + f(0))x^2 + (\frac{f'''(0)}{3!} + \frac{f''(0)}{2!} + f'(0) + f(0))x^3 + \cdots\\
&= f(0) + f(0)x + (f'(0) + f(0))x^2 + (\frac{f''(0)}{2!} + f'(0) + f(0))x^3 + (\frac{f'''(0)}{3!} + \frac{f''(0)}{2!} + f'(0) + f(0))x^4 + \cdots
\end{aligned}$$

因此，$F(x)$ 是一个形如 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots$ 的幂级数，其中 $a_n = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(0)$。

2）由于 $F(x)$ 是幂级数，因此可以求出它的收敛半径 $R$。设 $R'$ 是 $f(x)$ 的收敛半径，$R''$ 是 $f'(x)$ 的收敛半径，$R'''$ 是 $f''(x)$ 的收敛半径，以此类推。则有：

$$\begin{aligned}
\frac{1}{R} &= \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\\
&= \limsup_{n\to\infty} \left|\sum_{k=0}^n f^{(k)}(0)\right|^{1/n}\\
&\leq \limsup_{n\to\infty} \left(\sum_{k=0}^n |f^{(k)}(0)|\right)^{1/n}\\
&\leq \limsup_{n\to\infty} \left(\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}R^{n-k}\right)^{1/n}\\
&= \limsup_{n\to\infty} \left(n!\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left(\frac{R}{n}\right)^{n-k}\right)^{1/n}\\
&= \lim_{n\to\infty} n^{1/n}\sqrt[n]{\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left(\frac{R}{n}\right)^{n-k}}\\
&= \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left(\frac{R}{n}\right)^{n-k}}\\
&= e^{-R'}
\end{aligned}$$

因此，$R = \frac{1}{e^{R'}}$。

3）要求 $f(x), f'(x), f''(x)$ 的所有根，可以使用牛顿迭代法。具体地，对于 $f(x)=0$，我们可以从一个初始点 $x_0$ 开始，使用以下公式迭代：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

直到收敛到某个根。对于 $f'(x)=0$，我们可以使用类似的方法，从一个初始点 $x_0$ 开始，使用以下公式迭代：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$$

直到收敛到某个根。对于 $f''(x)=0$，同样可以使用类似的方法。

11.已知x2+y2=1,求函数e7-sin(x)+y在[0,100]的极大值。

由均值不等式，有：

e7-sin(x) y = e^(7 - sin(x)) y^(1/2) y^(1/2) ≤ (e^(7-sin(x))+1)/2

因此，要求极大值，只需要找到使得e^(7-sin(x))最大的x，即sin(x)最小的x。

由于sin(x)的范围为[-1,1]，所以当x=asin(1)=π/2时，sin(x)取得最小值1。

因此，函数e7-sin(x) y的极大值为(e^6+1)/2，约等于403.4。