单个正态总体方差已知时未知参数的置信区间用到的枢轴量如何选取?(含相应区间估计公式推导)
时间: 2023-06-14 12:05:11 浏览: 405
当单个正态总体方差已知时未知参数的置信区间需要用到t分布,枢轴量选取为样本平均数。
具体推导如下:
设总体为 $N(\mu,\sigma^2)$,样本量为 $n$,样本均值为 $\bar{x}$,总体方差已知为 $\sigma^2$。
由于样本均值 $\bar{x}$ 服从 $N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$,因此有:
$$\frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}\sim N(0,1)$$
将其转化为标准正态分布:
$$\frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \sim \mathcal{N}(0,1)$$
根据标准正态分布的性质,可得:
$$P(-z_{\frac{\alpha}{2}} \leq \frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \leq z_{\frac{\alpha}{2}}) = 1-\alpha$$
其中,$z_{\frac{\alpha}{2}}$ 表示标准正态分布累积分布函数在 $\frac{\alpha}{2}$ 处的值。
将 $\frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}$ 转化为 $t$ 分布,得:
$$\frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \sim t(n-1)$$
同样根据 $t$ 分布的性质,有:
$$P(-t_{n-1,\frac{\alpha}{2}} \leq \frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \leq t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}) = 1-\alpha$$
其中,$t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}$ 表示 $t$ 分布累积分布函数在 $\frac{\alpha}{2}$ 处、自由度为 $n-1$ 的值。
因此,单个正态总体方差已知时未知参数的置信区间为:
$$(\bar{x}-t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$$
其中,$\bar{x}$ 表示样本均值,$n$ 表示样本容量,$\sigma$ 表示总体标准差,$\alpha$ 表示置信水平。