随机向量 x服从 p元正态分布 ,回归系数b , 考虑如下的线性回归模型 y=bx+e , 其中随机误差项e 与x 相互独立,且e服从卡方(5),.从上述模型中产生独立同分布观测样本 . 在绝对值损失函数下建立中位数回归模型 (Median) (i) 建立中位数回归的线性优化模型方程
时间: 2024-01-24 22:17:50 浏览: 7
中位数回归是一种非参数回归方法,可以用于处理离群点的影响。在绝对值损失函数下,中位数回归的目标是求解使得所有样本点到回归线的距离之和最小的回归系数。
假设有n个观测样本,第i个样本的输入为$x_i$,输出为$y_i$。中位数回归的线性优化模型方程可以表示为:
$\min_{b} \sum_{i=1}^{n} |y_i - b x_i|$
这个优化问题可以转化为一个线性规划问题:
$\min_{b, u, v} \sum_{i=1}^{n} (u_i + v_i)$
subject to:
$y_i - b x_i \leq u_i$
$b x_i - y_i \leq v_i$
$u_i \geq 0, v_i \geq 0$
其中,$u_i$和$v_i$是松弛变量,表示第i个样本点到回归线上方和下方的距离,$b$是回归系数。
这个线性规划问题可以用各种优化算法求解,例如单纯形法、内点法等。求解出的$b$即为中位数回归的回归系数。
相关问题
随机向量 x服从 p元正态分布 ,回归系数b , 考虑如下的线性回归模型 y=bx+e , 其中随机误差项e 与x 相互独立,且e服从卡方(5),.从上述模型中产生独立同分布观测样本 . 在绝对值损失函数下建立中位数回归模型 (Median) (i) 建立中位数回归的线性优化模型
中位数回归(Median Regression)是一种基于绝对值损失函数的回归方法,其目标是寻找一个回归系数,使得模型预测值和实际观测值的绝对误差的中位数最小。
设样本数据为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$,中位数回归的线性优化模型为:
$$\min_{b} \sum_{i=1}^{n} |y_i - bx_i|$$
该模型等价于以下两个线性规划问题:
$$\begin{cases} \min_{b,\epsilon} \sum_{i=1}^{n} \epsilon_i \\ s.t. & y_i - bx_i \leq \epsilon_i \\ & bx_i - y_i \leq \epsilon_i \end{cases}$$
$$\begin{cases} \min_{b,\epsilon} \sum_{i=1}^{n} \epsilon_i \\ s.t. & y_i - bx_i \leq \epsilon_i \\ & -(bx_i - y_i) \leq \epsilon_i \end{cases}$$
其中,$\epsilon_i$为绝对误差。
以上两个线性规划问题的解都可以使用线性规划算法求解。
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