x根号下2ax-x2dx的不定积分

我们可以先将根号下2a提取出来，得到：

x * 根号下2a * 根号下(x-a*d/a)

然后再对根号下(x-a*d/a)进行变量代换，令u=x-a*d/a，那么du=dx，于是原式可以变为：

根号下2a * ∫(u=0到x-a*d/a) (u+a*d/a)^(1/2) du

接下来可以使用换元法，令v=u+a*d/a，那么du=dv，同时u=v-a*d/a，将其代入原式，得到：

根号下2a * ∫(v=a*d/a到x) (v-a*d/a)^(1/2) dv

将(v-a*d/a)^(1/2)展开，得到：

根号下2a * ∫(v=a*d/a到x) (v^(1/2) - (a*d/a)^(1/2)) dv

对v^(1/2)和(a*d/a)^(1/2)分别进行积分，得到：

根号下2a * (2/3 * v^(3/2) - 2/3 * (a*d/a)^(3/2)) 从v=a*d/a到x

将v=x代入上式，再减去v=a*d/a时的值，即可得到原式的结果：

根号下2a * (2/3 * x^(3/2) - 2/3 * (a*d/a)^(3/2) - 2/3 * a^(3/2) * d)

因此，原式的不定积分为：

根号下2a * (2/3 * x^(3/2) - 2/3 * (a*d/a)^(3/2) - 2/3 * a^(3/2) * d) + C

其中C为常数。