x根号下2ax-x2dx的不定积分
时间: 2024-05-28 21:12:22 浏览: 34
我们可以先将根号下2a提取出来,得到:
x * 根号下2a * 根号下(x-a*d/a)
然后再对根号下(x-a*d/a)进行变量代换,令u=x-a*d/a,那么du=dx,于是原式可以变为:
根号下2a * ∫(u=0到x-a*d/a) (u+a*d/a)^(1/2) du
接下来可以使用换元法,令v=u+a*d/a,那么du=dv,同时u=v-a*d/a,将其代入原式,得到:
根号下2a * ∫(v=a*d/a到x) (v-a*d/a)^(1/2) dv
将(v-a*d/a)^(1/2)展开,得到:
根号下2a * ∫(v=a*d/a到x) (v^(1/2) - (a*d/a)^(1/2)) dv
对v^(1/2)和(a*d/a)^(1/2)分别进行积分,得到:
根号下2a * (2/3 * v^(3/2) - 2/3 * (a*d/a)^(3/2)) 从v=a*d/a到x
将v=x代入上式,再减去v=a*d/a时的值,即可得到原式的结果:
根号下2a * (2/3 * x^(3/2) - 2/3 * (a*d/a)^(3/2) - 2/3 * a^(3/2) * d)
因此,原式的不定积分为:
根号下2a * (2/3 * x^(3/2) - 2/3 * (a*d/a)^(3/2) - 2/3 * a^(3/2) * d) + C
其中C为常数。
相关问题
求定积分∫e的根号下x-1dx
我们可以使用变量代换法来求解这个积分。令u = sqrt(x-1),则有x = u^2 + 1,dx = 2u du。将变量代换带入原式得到:
∫e^(sqrt(x-1))dx = ∫e^(u) * 2u du
这个积分可以通过分部积分法求解。令f(u) = u * e^u,g'(u) = e^u,则有f'(u) = (u+1) * e^u,g(u) = e^u。根据分部积分法可得:
∫e^(u) * 2u du = 2u * e^u - ∫(u+1) * e^u du
对于右边的积分∫(u+1) * e^u du,可以再次使用分部积分法进行求解。令f(u) = u+1,g'(u) = e^u,则有f'(u) = 1,g(u) = e^u。根据分部积分法可得:
∫(u+1) * e^u du = (u+1) * e^u - ∫e^u du
将上式代回原式,得到:
∫e^(sqrt(x-1))dx = 2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C
其中C为常数。因此,定积分 ∫e^(sqrt(x-1))dx 的解为:
2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C
x3根号下r2-x2的原函数
这个函数可以通过代换和分部积分来求解。首先,我们可以令$x=\sqrt{r^2}\sin\theta=r\sin\theta$,那么$dx=r\cos\theta d\theta$。于是原函数可以表示为:
$$\int x^3\sqrt{r^2-x^2}dx=\int r^4\sin^3\theta\sqrt{r^2-r^2\sin^2\theta}\cdot r\cos\theta d\theta$$
化简一下可得:
$$\int r^5\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta$$
然后我们再进行一次代换,令$u=\sin\theta$,那么$du=\cos\theta d\theta$,于是原函数可以表示为:
$$\int r^5\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta=\int r^5u^3du=\frac{r^5}{4}\sin^4\theta+C$$
最后,将$\theta$用$x$表示回去,即可得到最终答案:
$$\int x^3\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{r^5}{4}\sin^4(\arcsin\frac{x}{r})+C=\frac{r^5}{4}\cdot\frac{x^2}{r^2}(1-\frac{x^2}{r^2})^2+C$$
因此,$x^3\sqrt{r^2-x^2}$的原函数为$\frac{r^5}{4}\cdot\frac{x^2}{r^2}(1-\frac{x^2}{r^2})^2+C$。