将函数f(z)=1/(z−2)(z−3)在圆环域0<|z-2|<1内展开为洛朗级数.

首先，我们将分母进行部分分解，得到：

f(z) = 1/[(z-2)(z-3)] = 1/(z-3) - 1/(z-2)

现在，我们可以针对每个分式展开洛朗级数。对于 1/(z-3)，我们有：

1/(z-3) = -1/(3- z) = -1/3 * 1/(1 - (z/3))

因为 |z/3| < 1，所以我们可以使用几何级数展开 1/(1 - (z/3))：

1/(z-3) = -1/3 * Σ(z/3)^n , n从0到正无穷

对于 -1/(z-2)，我们有：

-1/(z-2) = 1/(2 - z) = 1/2 * 1/(1 - (z/2))

因为 |z/2| < 1，所以我们可以使用几何级数展开 1/(1 - (z/2))：

-1/(z-2) = 1/2 * Σ(z/2)^n , n从0到正无穷

现在，我们将这两个级数合并并整理项：

f(z) = 1/(z-3) - 1/(z-2) = -1/3 * Σ(z/3)^n + 1/2 * Σ(z/2)^n , n从0到正无穷

这就是函数 f(z) 在圆环域0<|z-2|<1内的洛朗级数展开。

相关问题

将函数 f ( z )=22( z - i ) 分别在圆环域0<| z /<1 与 1<| z - i <+∞ 内展成洛朗级数．

### 回答1：
首先，我们看一下 $f(z) = 22(z-i)$ 在 $z=i$ 处的泰勒展开式：

$$f(z) = 22(z-i) = -22i + 22(z-i)$$

将 $w=z-i$，得到：

$$f(w+i) = -22i + 22w$$

现在，我们可以将 $f(z)$ 在圆环域 $0<|z|<1$ 中展开成洛朗级数。为此，我们需要找到 $f(z)$ 的极点和留数。

$f(z)$ 仅有一个简单极点 $z=i$，它在圆环 $0<|z|<1$ 的内部。因此，我们可以将 $f(z)$ 展开为：

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-i)^n$$

其中，

$$c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-i)^{n+1}} dz$$

$C$ 是一个以 $z=i$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆周，其中 $0<r<1$。因为 $f(z)$ 在 $z=i$ 处的留数是 $22$，所以：

$$c_n = \begin{cases} 22, & n=1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

因此，

$$f(z) = 22(z-i) + 0 + 0 + \cdots = 22(z-i)$$

接下来，我们将 $f(z)$ 在圆环 $1<|z-i|<\infty$ 中展开成洛朗级数。为此，我们需要找到 $f(z)$ 的极点和留数。

$f(z)$ 仅有一个简单极点 $z=i$，它在圆环 $1<|z-i|<\infty$ 的外部。因此，我们可以将 $f(z)$ 展开为：

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-i)^n$$

其中，

$$c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-i)^{n+1}} dz$$

$C$ 是一个以 $z=i$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆周，其中 $r>1$。因为 $f(z)$ 在 $z=i$ 处的留数是 $22$，所以：

$$c_n = \begin{cases} 22, & n=1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

因此，

$$f(z) = 22(z-i) + 0 + 0 + \cdots = 22(z-i)$$

综上所述，$f(z) = 22(z-i)$ 在圆环域 $0<|z|<1$ 和 $1<|z-i|<\infty$ 内展开成洛朗级数分别为 $22(z-i)$。

### 回答2：
要将函数f(z)=22(z-i)在圆环域0<|z|<1展成洛朗级数，我们需要找到函数f(z)在该圆环域内的奇点和主要部分。

首先观察函数f(z)，可以发现它在z=i处有一个一阶极点。因此，我们需要将f(z)展开成以下形式的级数：

f(z) = ∑[residue(z=i) / (z-i)] + 主要部分。

计算残数(residue)：
根据极限定义，我们有residue(z=i) = lim[z→i]((z-i)f(z)) = lim[z→i](22(z-i)) = 22.

因此，在圆环域0<|z|<1内，f(z)的洛朗级数展开为：
f(z) = 22/(z-i) + 主要部分。

接下来我们将函数f(z)在圆环域1<|z-i|<∞内展成洛朗级数。

观察可知，在该圆环域中，函数f(z)没有奇点。因此，f(z)的洛朗级数展开只有主要部分，即：
f(z) = 22(z-i)。

总结起来，将函数f(z)=22(z-i)分别在圆环域0<|z|<1与1<|z-i|<∞内展成洛朗级数的结果分别为：

在0<|z|<1内：f(z) = 22/(z-i) + 主要部分。

在1<|z-i|<∞内：f(z) = 22(z-i)。

### 回答3：
要将函数f(z)=22(z-i)在圆环域0<|z|<1和1<|z-i|<∞内展开成洛朗级数，我们需要找到函数在展开点处的留数。然后，利用洛朗级数的定义，根据幂级数展开的原理进行展开。

首先考虑圆环域0<|z|<1。在这个区域内，函数f(z)的展开点为z=0。我们可以对函数f(z)在z=0附近做幂级数展开。由于这里是圆环域，我们可以采用洛朗级数展开的形式。计算留数时，我们将函数f(z)化为最简形式f(z)=22*z-22i。

由于z=0是该函数f(z)的简单极点，它的留数为a-1=22。那么根据洛朗级数的定义，我们可以得到在圆环域0<|z|<1内的展开系数如下：

f(z) = 22*(z-i) = 22z-22i

由于这里只有一个留数，展开式的主要部分只有一个项，即22z。

接下来考虑1<|z-i|<∞的区域。在这个区域内，函数f(z)的展开点为z=i。同样地，我们可以对函数f(z)在z=i附近做洛朗级数展开。计算留数时，我们将函数f(z)化为最简形式f(z)=22*(z-i)。

由于z=i是该函数f(z)的简单极点，它的留数为a-1=22。那么根据洛朗级数的定义，我们可以得到在1<|z-i|<∞内的展开系数如下：

f(z) = 22*(z-i) = 22z-22i

由于这里只有一个留数，展开式的主要部分只有一个项，即22z。

综上所述，在圆环域0<|z|<1和1<|z-i|<∞内，函数f(z)=22*(z-i)的洛朗级数展开形式均为22z-22i。

将函数 f ( z )=22( z - i ) 分别在圆环域0<| z /<1 与 1<| z - i <+∞ 内展成洛朗级数.

### 回答1：
在圆环域 $0<|z|<1$ 中，$f(z)=22\frac{z-i}{z}=-22i+22\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{z}\right)^{n+1}$，展开成洛朗级数为：$$f(z)=-22i+22\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{z}\right)^{n+1}=-22i+\frac{22i}{z}+\frac{-22}{z^2}-\frac{22i}{z^3}-\frac{22}{z^4}-\cdots$$

在圆环域 $1<|z-i|<\infty$ 中，令 $w=z-i$，则 $f(z)=22\frac{w}{w+i}=-22i+22\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-i}{w+i}\right)^{n+1}$，展开成洛朗级数为：$$f(z)=-22i+22\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-i}{w+i}\right)^{n+1}=-22i-\frac{22}{w+i}-\frac{22i}{(w+i)^2}-\frac{22}{(w+i)^3}-\cdots$$

将 $w=z-i$ 代回，得到：$$f(z)=-22i-\frac{22}{z-i}-\frac{22i}{(z-i)^2}-\frac{22}{(z-i)^3}-\cdots$$

因此，$f(z)$ 在圆环域 $0<|z|<1$ 和 $1<|z-i|<\infty$ 内的洛朗级数分别为：$$f(z)=-22i+\frac{22i}{z}+\frac{-22}{z^2}-\frac{22i}{z^3}-\frac{22}{z^4}-\cdots$$ 和 $$f(z)=-22i-\frac{22}{z-i}-\frac{22i}{(z-i)^2}-\frac{22}{(z-i)^3}-\cdots$$

### 回答2：
在圆环域0<|z|<1内展开洛朗级数时，可以使用公式：

f(z) = ∑ (c_n * (z - a)^n)

其中，c_n为洛朗级数的系数，a为展开点，n为整数。

根据函数f(z) = 22(z - i)，我们可以先将其进行变形：

f(z) = 22z - 22i

展开到洛朗级数的形式：

f(z) = ∑ (c_n * (z - a)^n)

根据洛朗级数的计算公式，将展开点a取为0，得到：

f(z) = ∑ (c_n * z^n)

将f(z) = 22z - 22i代入上式，得到：

22z - 22i = ∑ (c_n * z^n)

对比两边的对应项系数，可以得到：

c_1 = 22
c_n = 0 (n ≠ 1)

所以在圆环域0<|z|<1内，函数f(z)的洛朗级数展开式为：

f(z) = 22z

在另一个圆环域1<|z - i|<∞内展开洛朗级数时，同样使用公式：

f(z) = ∑ (c_n * (z - a)^n)

根据函数f(z) = 22(z - i)，和展开点a取为i，得到：

f(z) = ∑ (c_n * (z - i)^n)

将f(z) = 22(z - i)代入上式，得到：

22(z - i) = ∑ (c_n * (z - i)^n)

对比两边的对应项系数，可以得到：

c_1 = -22i
c_2 = 0
c_n = 0 (n ≠ 1, 2)

所以在圆环域1<|z - i|<∞内，函数f(z)的洛朗级数展开式为：

f(z) = -22i(z - i)

### 回答3：
将函数$f(z) = 2/ (z - i)$ 分别在圆环域 $0<|z|<1$ 与 $1<|z - i|<∞$ 内展成洛朗级数。

在圆环域 $0<|z|<1$ 内，我们可以将函数 $f(z)$ 展开成洛朗级数的形式。
根据洛朗级数的定义，我们可知洛朗级数的通项公式为：

\[a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz\]

其中 $C$ 代表一个包围着 $z_0$ 的简单闭合曲线。对于圆环域 $0<|z|<1$ 内，我们可以选择取以原点为中心、半径为 $1/2$ 的圆 C。上述公式中的 $n$ 代表展开式的指数。

利用上述公式，我们可以计算出展开式的每一项，并将其相加得到洛朗级数的形式。由于题目中的函数 $f(z)$ 的分母为 $z - i$，因此我们要将 $f(z)$ 展开成带有 $(z - i)$ 的幂的形式。

在 $0<|z|<1$ 的圆环域内，我们可以得到洛朗级数的展开式为：

\[f(z) = -2i\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z}{i}\right)^n\]

在 $1<|z - i|<∞$ 的圆环域内，我们可以得到洛朗级数的展开式为：

\[f(z) = 2i\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z - i}{i}\right)^{-n}\]

需要注意的是，这里的洛朗级数展开式只包含了 $n>0$ 的项，因为对于 $n<0$ 的项，它们会在原点或者极点处发散。而对于 $n=0$ 的项，根据洛朗级数的定义，我们可以将其写成：

\[a_0 = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z) dz\]

根据题目中的函数 $f(z)$，我们可以计算出该积分的结果，并将其作为洛朗级数展开式的 $n=0$ 项。