将函数f(z)=1/(z−2)(z−3)在圆环域0<|z-2|<1内展开为洛朗级数.

首先，我们将分母进行部分分解，得到：

f(z) = 1/[(z-2)(z-3)] = 1/(z-3) - 1/(z-2)

现在，我们可以针对每个分式展开洛朗级数。对于 1/(z-3)，我们有：

1/(z-3) = -1/(3- z) = -1/3 * 1/(1 - (z/3))

因为 |z/3| < 1，所以我们可以使用几何级数展开 1/(1 - (z/3))：

1/(z-3) = -1/3 * Σ(z/3)^n , n从0到正无穷

对于 -1/(z-2)，我们有：

-1/(z-2) = 1/(2 - z) = 1/2 * 1/(1 - (z/2))

因为 |z/2| < 1，所以我们可以使用几何级数展开 1/(1 - (z/2))：

-1/(z-2) = 1/2 * Σ(z/2)^n , n从0到正无穷

现在，我们将这两个级数合并并整理项：

f(z) = 1/(z-3) - 1/(z-2) = -1/3 * Σ(z/3)^n + 1/2 * Σ(z/2)^n , n从0到正无穷

这就是函数 f(z) 在圆环域0<|z-2|<1内的洛朗级数展开。