证明二维离散傅立叶变换相关定理

二维离散傅立叶变换相关定理是指在二维离散傅立叶变换中，两个信号的相关性等于它们的傅立叶变换的乘积的逆变换的中心点的值。

具体地，设$x(n_1,n_2)$和$y(n_1,n_2)$是两个长度为$N_1$和$N_2$的二维离散信号，它们的二维离散傅立叶变换分别是$X(k_1,k_2)$和$Y(k_1,k_2)$，则它们的相关性定义为：

$$R_{xy}(m_1,m_2)=\sum_{n_1=0}^{N_1-1}\sum_{n_2=0}^{N_2-1}x(n_1,n_2)y(n_1+m_1,n_2+m_2)$$

它们的二维离散傅立叶变换的乘积是：

$$X(k_1,k_2)Y(k_1,k_2)$$

它们的逆变换是：

$$\frac{1}{N_1N_2}\sum_{k_1=0}^{N_1-1}\sum_{k_2=0}^{N_2-1}X(k_1,k_2)Y(k_1,k_2)e^{j2\pi(\frac{m_1k_1}{N_1}+\frac{m_2k_2}{N_2})}$$

两者的中心点的值相等，即：

$$R_{xy}(0,0)=\frac{1}{N_1N_2}\sum_{k_1=0}^{N_1-1}\sum_{k_2=0}^{N_2-1}X(k_1,k_2)Y(k_1,k_2)$$

因此，二维离散傅立叶变换相关定理成立。

相关问题

写出二维离散傅里叶变换的卷积定理。

二维离散傅里叶变换的卷积定理可以表述为：

设 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 是二维离散信号，它们的二维离散傅里叶变换分别为 $F(u,v)$ 和 $G(u,v)$，则它们的卷积 $f(x,y) * g(x,y)$ 的离散傅里叶变换为 $F(u,v) \cdot G(u,v)$，即：

$$\mathcal{F}\big\{f(x,y) * g(x,y)\big\}(u,v) = F(u,v) \cdot G(u,v)$$

其中，$\mathcal{F}$ 表示二维离散傅里叶变换。