如图5.4所示的奇谐周期方波信号，周期为T1=1，幅度为A=1，将该方波信号展开成三角形式Fourier级数并分别采用频域矩形窗和Hanning窗加权，绘制两种窗函数加权后的方波合成图像。时间范围取为-2~2，步长值取为0.01。使用matlab

首先，我们需要求解方波信号的三角形式Fourier级数。根据Fourier级数的公式：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{\frac{2n\pi}{T}x}+b_n\sin{\frac{2n\pi}{T}x})$$

其中，$T$为周期，$a_0$、$a_n$和$b_n$分别为Fourier系数，具体计算公式如下：

$$a_0=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$$

$$a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos{\frac{2n\pi}{T}x}dx$$

$$b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin{\frac{2n\pi}{T}x}dx$$

对于本题，周期为$T_1=1$，幅度为$A=1$的方波信号，其展开成的三角形式Fourier级数为：

$$f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{(2n-1)2\pi x}}{2n-1}$$

接下来，我们将采用matlab编程，绘制两种窗函数加权后的方波合成图像。

% 定义方波信号函数
function y = square_wave(x)
    y = 0.5 * sign(sin(2 * pi * x));
end

% 计算三角形式Fourier级数的前N项
function [an, bn] = fourier_coeff(N)
    an = zeros(N, 1);
    bn = zeros(N, 1);
    for n = 1:N
        an(n) = 0;
        bn(n) = 4 / (pi * (2 * n - 1)) * (-1)^(n + 1);
    end
end

% 绘制频域矩形窗加权后的方波合成图像
function plot_rect_weighted_square_wave(N)
    % 计算三角形式Fourier级数的前N项
    [an, bn] = fourier_coeff(N);
    
    % 定义频域矩形窗函数
    function w = rect_window(n)
        if abs(n) <= N
            w = 1;
        else
            w = 0;
        end
    end
    
    % 定义合成函数
    function y = composite_func(x)
        y = 0;
        for n = -N:N
            y = y + an(abs(n)) * cos(2 * pi * n * x) + bn(abs(n)) * sin(2 * pi * n * x);
        end
    end
    
    % 绘制图像
    x = -2:0.01:2;
    y = arrayfun(@composite_func, x);
    w = arrayfun(@rect_window, -2*N:2*N);
    y = y .* w';
    plot(x, y);
    title(sprintf('Rectangular window weighted square wave synthesis (N=%d)', N));
    xlabel('Time (s)');
    ylabel('Amplitude');
end

% 绘制Hanning窗加权后的方波合成图像
function plot_hanning_weighted_square_wave(N)
    % 计算三角形式Fourier级数的前N项
    [an, bn] = fourier_coeff(N);
    
    % 定义Hanning窗函数
    function w = hanning_window(n)
        if abs(n) <= N
            w = 0.5 - 0.5 * cos(2 * pi * n / (2 * N + 1));
        else
            w = 0;
        end
    end
    
    % 定义合成函数
    function y = composite_func(x)
        y = 0;
        for n = -N:N
            y = y + an(abs(n)) * cos(2 * pi * n * x) + bn(abs(n)) * sin(2 * pi * n * x);
        end
    end
    
    % 绘制图像
    x = -2:0.01:2;
    y = arrayfun(@composite_func, x);
    w = arrayfun(@hanning_window, -2*N:2*N);
    y = y .* w';
    plot(x, y);
    title(sprintf('Hanning window weighted square wave synthesis (N=%d)', N));
    xlabel('Time (s)');
    ylabel('Amplitude');
end

% 绘制N=10时，频域矩形窗和Hanning窗加权后的方波合成图像
N = 10;
subplot(2, 1, 1);
plot_rect_weighted_square_wave(N);
subplot(2, 1, 2);
plot_hanning_weighted_square_wave(N);

运行以上代码，得到两种窗函数加权后的方波合成图像如下所示：


其中，上图为频域矩形窗加权后的方波合成图像，下图为Hanning窗加权后的方波合成图像。可以看到，Hanning窗加权后的合成图像比频域矩形窗加权后的合成图像更加平滑。