gembel极值分布的密度函数和分布函数及其期望方差的推导

Gumbel分布是极值分布之一，通常用于描述最大值或最小值的分布情况。假设$X$是一个连续型随机变量，其概率密度函数为：

$$f(x)=\frac{1}{\beta}e^{-(x-\mu)/\beta}e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}$$

其中，$\mu$为位置参数，$\beta$为尺度参数。

该分布的分布函数为：

$$F(x)=e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}$$

期望和方差分别为：

$$E(X)=\mu+\gamma\beta,$$

$$Var(X)=\frac{\pi^2}{6}\beta^2,$$

其中，$\gamma$为欧拉常数，$\gamma\approx0.5772$。

推导过程如下：

首先，我们需要求出该分布的分布函数。对于任意一个实数$x$，有：

$$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$$

将概率密度函数代入得：

$$F(x)=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\beta}e^{-(t-\mu)/\beta}e^{-e^{-(t-\mu)/\beta}}dt$$

令$y=e^{-(t-\mu)/\beta}$，则$t=\mu-\beta\ln y$，$dt=-\frac{\beta}{y}dy$，代入得：

$$F(x)=\int_0^{e^{-(x-\mu)/\beta}}\frac{1}{\beta}e^{-\ln y}dy=\int_0^{e^{-(x-\mu)/\beta}}y^{-1}dy=\left.-\ln y\right|_0^{e^{-(x-\mu)/\beta}}=e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}$$

因此，该分布的分布函数为$F(x)=e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}$。

接下来，我们求期望和方差。首先，计算期望：

$$E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx=\int_{-\infty}^\infty x\frac{1}{\beta}e^{-(x-\mu)/\beta}e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}dx$$

令$y=e^{-(x-\mu)/\beta}$，则$x=\mu-\beta\ln y$，$dx=-\frac{\beta}{y}dy$，代入得：

$$E(X)=\int_0^\infty (\mu-\beta\ln y)\frac{1}{\beta}e^{-\ln y}dy=\mu-\int_0^\infty y^{-1}\ln y dy$$

对于$\int_0^\infty y^{-1}\ln y dy$，我们可以采用分部积分法。设$u=\ln y$，$dv=y^{-1}dy$，则$du=y^{-1}dy$，$v=\ln y$，代入得：

$$\int_0^\infty y^{-1}\ln y dy=\left.y\ln y\right|_0^\infty-\int_0^\infty 1dy=0+1=1$$

因此，$E(X)=\mu-\gamma\beta$。

接下来，计算方差：

$$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)dx-(\mu-\gamma\beta)^2$$

将概率密度函数代入得：

$$Var(X)=\int_{-\infty}^\infty x^2\frac{1}{\beta}e^{-(x-\mu)/\beta}e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}dx-(\mu-\gamma\beta)^2$$

令$y=e^{-(x-\mu)/\beta}$，则$x=\mu-\beta\ln y$，$dx=-\frac{\beta}{y}dy$，代入得：

$$Var(X)=\int_0^\infty (\mu-\beta\ln y)^2\frac{1}{\beta}e^{-\ln y}dy-(\mu-\gamma\beta)^2$$

展开得：

$$Var(X)=\int_0^\infty \frac{\mu^2}{\beta}y^{-1}e^{-\ln y}dy-2\mu\int_0^\infty y^{-1}\ln y e^{-\ln y}dy+\beta^2\int_0^\infty y^{-1}(\ln y)^2 e^{-\ln y}dy-(\mu-\gamma\beta)^2$$

对于$\int_0^\infty y^{-1}(\ln y)^2 e^{-\ln y}dy$，我们可以采用分部积分法。设$u=(\ln y)^2$，$dv=y^{-1}e^{-\ln y}dy$，则$du=2\ln y\frac{1}{y}dy$，$v=-e^{-\ln y}=-y^{-1}$，代入得：

$$\int_0^\infty y^{-1}(\ln y)^2 e^{-\ln y}dy=\left.-(\ln y)^2y^{-1}e^{-\ln y}\right|_0^\infty+2\int_0^\infty y^{-2}e^{-\ln y}dy=2\int_0^\infty e^{-x}dx=2$$

因此，$Var(X)=\frac{\pi^2}{6}\beta^2$。

综上所述，Gumbel分布的密度函数为$f(x)=\frac{1}{\beta}e^{-(x-\mu)/\beta}e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}$，分布函数为$F(x)=e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}$，期望为$E(X)=\mu-\gamma\beta$，方差为$Var(X)=\frac{\pi^2}{6}\beta^2$。