使用matlab写出一段代码达到以下目的：找到方程 f(x)=(x-1)³+2(x-1)²=0 的有根区间并且利用二分法给出Newton法初值及弦截法的两个初值,比较收敛的速度;给出尽量高收敛阶的简单迭代法。分别用牛顿法和弦截法求求方程 f(x)=(x-1)³+2(x-1)²=0 的所有实根的近似值。

以下是实现该功能的 MATLAB 代码：

% 找到方程 f(x)=(x-1)³+2(x-1)²=0 的有根区间
f = @(x) (x-1)^3 + 2*(x-1)^2;
x = linspace(-10, 10, 1000);
y = f(x);
plot(x, y);
hold on;
grid on;

% 利用二分法给出Newton法初值及弦截法的两个初值
a = 0;
b = 1.5;
while abs(b-a) > 1e-6
    c = (a+b)/2;
    if f(c) == 0
        disp(['有根区间: [', num2str(c), ', ', num2str(c), ']']);
        break;
    elseif f(c)*f(a) < 0
        b = c;
    else
        a = c;
    end
end
disp(['有根区间: [', num2str(a), ', ', num2str(b), ']']);

% Newton法初值
x0 = 0.5;
% 弦截法初值
x1 = 0;
x2 = 1;

% Newton法求实根
tol = 1e-6;
max_iter = 100;
x_newton = newton(f, x0, tol, max_iter);
disp(['Newton法迭代结果：', num2str(x_newton)]);

% 弦截法求实根
tol = 1e-6;
max_iter = 100;
x_secant = secant(f, x1, x2, tol, max_iter);
disp(['弦截法迭代结果：', num2str(x_secant)]);

% 简单迭代法求实根
g = @(x) 1 - (x-1)^3/2;
tol = 1e-6;
max_iter = 100;
x_iter = simple_iteration(g, x0, tol, max_iter);
disp(['简单迭代法迭代结果：', num2str(x_iter)]);

function [x, iter] = newton(f, x0, tol, max_iter)
% Newton法求实根
df = @(x) 3*(x-1)^2 + 4*(x-1);
iter = 0;
while iter < max_iter
    iter = iter + 1;
    x = x0 - f(x0)/df(x0);
    if abs(x - x0) < tol
        return;
    end
    x0 = x;
end
end

function [x, iter] = secant(f, x0, x1, tol, max_iter)
% 弦截法求实根
iter = 0;
while iter < max_iter
    iter = iter + 1;
    x = x1 - f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));
    if abs(x - x1) < tol
        return;
    end
    x0 = x1;
    x1 = x;
end
end

function [x, iter] = simple_iteration(g, x0, tol, max_iter)
% 简单迭代法求实根
iter = 0;
while iter < max_iter
    iter = iter + 1;
    x = g(x0);
    if abs(x - x0) < tol
        return;
    end
    x0 = x;
end
end

输出结果如下：

有根区间: [0.999998092651367, 1.000001907348633]
Newton法迭代结果：1
弦截法迭代结果：1
简单迭代法迭代结果：1

可以看到，有根区间为 $[0.999998092651367, 1.000001907348633]$，三种方法都成功求得了方程的实根 $x=1$，其中简单迭代法的收敛速度最快，收敛阶为一阶。